Стартовая Предметный указатель Новости науки и техники
Новости науки и техники
АТТОСЕКУНДНЫЕ ЛАЗЕРНЫЕ ИМПУЛЬСЫ
В атоме водорода электрон делает один виток по орбите всего за 150 аттосекунд (150 .10–18 с) – это время относится к секунде так же, как секунда к 200 млн. лет. Стремясь к изучению столь кратковременных явлений, физики научились получать лазерные импульсы длительностью в несколько сотен аттосекунд. Далее...

точно решаемые модели

ТОЧНО РЕШАЕМЫЕ МОДЕЛИ к в а н т о в о й т е о р и и п о л я и с т а т и с т и ч е с к о й ф и з и к и (вполне интегрируемые системы), матем. модели физ. систем, допускающие точное вычисление собств. функций и собств. значений гамильтониана таких систем, а также статистич. суммы для них; как правило, это системы низкой пространственной размерности (одно- или двумерные; см., напр., Двумерные модели квантовой теории поля). Т. р. м. имеют принципиальное значение в физике фазовых переходов.

XYZ-м о д е л ь. Одной из фундаментальных Т. р. м. является одномерная квантовая анизотропная XYZ-модель Гейзенберга - периодическая цепочка N спинов 1/2, в к-рой учитывается только обменное взаимодействие ближайших соседей. Гамильтониан XYZ-модели записывается в виде (см. также Спиновый гамильтониан:)

5028-43.jpg

где5028-44.jpg -трёхмерный вектор, составленый из матриц Паули для j-го спина, Ja - константы анизотропного обменного взаимодействия (a = x,у,z); для частных значений констант Ja модель XYZ сводится к более простым точно решаемым моделям.

1. М о д е л ь И з и н г а 5028-45.jpg точно решается, напр., методом трансфер-матрицы, или матрицы переноса (см. ниже), не только для обменного взаимодействия, но и в более общем случае при включении в гамильтониан внеш. магн. поля Н; этот метод также оказывается весьма полезным при решении ряда других Т. р. м.

Свободная энергия модели Изинга определяется наибольшим из двух собств. значений трансфер-матрицы. Однако при T=H=0 оба собств. значения совпадают, обращая при этом корреляц. длину в бесконечность. Это означает, что в одномерной модели Изинга точка Т=Н=0 является критической точкой. Полученный результат есть следствие общей теоремы теории фазовых переходов, согласно к-рой дальний порядок (см. Дальний и ближний порядок)в системе возникает только тогда, когда наибольшее собств. значение трансфер-матрицы асимптотически вырождено. Такое поведение согласуется также с тем, что для одномерных систем с взаимодействием конечного радиуса вклад в свободную энергию от энтропийного слагаемого преобладает, и упорядоченное состояние оказывается термодинамически неустойчивым. В случае же с бесконечным радиусом взаимодействия собств. значения трансфер-матрицы становятся вырожденными, что соответствует фазовому переходу. Каждый спин системы при этом взаимодействует со всеми остальными спинами, так что вся цепочка представляет собой единый кластер, т. е. модель преобразуется в решётку с бесконечным координац. числом (т.н. бесконечномерная модель), для к-рой точным оказывается среднего поля приближение.

Несмотря на чрезвычайную простоту, модель Изинга позволяет продемонстрировать два очень существ. факта для теории фазовых переходов: во-первых, одномерные системы имеют критич. точку, в к-рой темп-pa Т и магн. поле Н равны нулю, и, во-вторых, критические показатели физ. величин вблизи критич. точки удовлетворяют гипотезе подобия.

2. XY-м о д е л ь 5028-46.jpg сводится к другой Т. р.м.- знаменитой двумерной модели Изинга, точное решение к-рой в 1944 нашёл Л. Онсагер (L. Onsager) (см. Изинга модель).

3. ХХХ-модель(Jx = Jy = Jz = J)- изотропная модель Гейзенберга. Решение получено Г. Бете в 1931 [I]. Использованный им метод решения в дальнейшем получил назв. а н з а т ц или п о д с т а н о в к а Б е т е. Следуя этому методу, рассмотрим состояние цепочки с m спинами, ориентированными вниз, и N-m спинами, ориентированными вверх. Пусть x1<x2<...<xN-координаты узлов со спинами вниз 5028-47.jpg Произвольная волновая ф-ция Фт с заданным полным спином, т. е. с определённым числом т спинов, ориентированных вниз, должна быть суперпозицией всех состояний |х1. ..хm> с конкретным указанием узлов x1, ...,xm, в к-рых располагаются ориентированные вниз спины:

5028-48.jpg

Суммирование здесь ведётся по всем разл. способам размещения т номеров по N узлам. Коэф. 5028-49.jpg можно найти, действуя на Фm гамильтонианом 5028-50.jpg Решение представляется в виде

5028-51.jpg

где р1...,рт - нек-рая совокупность неравных чисел, а Р - произвольная перестановка этих m чисел. Амплитуды Ар связаны с амплитудой A0 = А12. ..т, отвечающей тождественной перестановке, соотношением

5028-52.jpg

где суммирование q-факторов ведётся по всем парам индексов у амплитуды, к-рые необходимо транспонировать, чтобы прийти к правильной расстановке индексов, т. е. к амплитуде A0 (j и i-индексы конкретной транспонируемой пары). Знак в (4) определяется чётностью или нечётностью перестановки Р. Фазовый q-фактор имеет вид

5028-53.jpg

где 5028-54.jpg

Собств. значение гамильтониана, соответствующее ф-ции Фт, записывается в виде

5028-55.jpg

Числа рi, характеризующие собств. значения и собств. ф-ции гамильтониана, представляют собой квазиимпульсы ,и для их определения необходимо учесть граничные условия, выражающие тождественность состояния на узле х и N+x, т. е. замыкание цепочки. В результате система ур-ний на числа р1. ..,рт примет вид

5028-56.jpg

где для m чётных Ij- полуцелые, а для т нечётных Ij-целые числа. Дальнейший анализ ур-ний зависит от знака обменного взаимодействия J.

Для J>0, отвечающему ферромагн. осн. состоянию, Бете нашёл собств. ф-ции гамильтониана и определил спектр элементарных возбуждений. Ими оказались спиновые волны и m-частичные спиновые комплексы (связанные состояния m перевёрнутых спинов в ферромагн. цепочке). Однако наиб. успех в XXX-модели достигнут в случае антифер-ромагн. цепочки (J<0), для к-рой этим методом вычислена энергия осн. состояния и найден спектр элементарных возбуждений.

4. XXZ-м о д е л ь (Jx = Jy), или модель Гейзенберга - Изинга, точно решается методом анзатца Бете и сводится к двумерной, т.н. ш е с т и в е р ш и н н о й, м о д е л и, к-рая, в свою очередь, известна также как модель типа льда на квадратной решётке (см. Двумерные решёточные модели ).Связь этих моделей позволяет использовать результаты, полученные для шестивершинной модели в случае XXZ-модели. Преимущество классич. двумерной шестивершинной модели перед одномерной квантовой XXZ-моделью заключается в том, что для решения двумерной модели удобно использовать метод трансфер-матрицы.

5. А н и з о т р о п н а я XYZ-м о д е л ь связана с другой классич. двумерной моделью на квадратной решётке, а именно с восьмивершинной моделью. Точное решение классич. двумерной восьмивершинной модели - крупнейшее достижение в области точно решаемых моделей - получено в 1972 Р. Бакстером [2]. Он обнаружил противоречие с гипотезой универсальности и независимости критич. показателей от деталей взаимодействия. Решение восьмивершинной модели позволило вычислить энергию осн. состояния и найти спектр элементарных возбуждений XYZ-модели.

Т. о., основополагающей идеей метода исследования точно решаемых одномерных квантовых систем является анзатц Бете (с соответствующим усложнением при переходе к более сложным моделям). С матем. точки зрения точное решение восьмивершинной модели потребовало нетривиального обобщения анзатца Бете. Бакстер установил фундам. соотношение для факторизованной трёхча-стичной матрицы рассеяния, к-рое сейчас известно как ур-ние Янга - Бакстера (см. ниже). Общность и содержательность этого ур-ния особенно проявилась в создании в 1979 Л. Д. Фаддеевым и его сотрудниками [3] к в а нт о в о г о м е т о д а о б р а т н о й з а д а ч и (КМОЗ)-алгеб-раич. варианта анзатца Бете. КМОЗ является естеств. развитием классич. обратной задачи рассеяния метода ,к-рый позволил найти обширный класс двумерных нелинейных эволюционных ур-ний, имеющих точное решение.

Уравнение Янга - Бакстера. Изотропная модель Гейзен-берга является простейшей системой, точное решение к-рой достигается методом анзатца Бете, т. е. представлением волновой ф-ции в виде (3) и (4). Для этой модели рассматривается система взаимодействующих частиц (спиновых отклонений), к-рые не имеют внутр. структуры, и их состояние целиком задаётся их положением в цепочке (координатой); взаимодействие таких частиц сводится лишь к обмену импульсами. В то же время существует немало физ. задач, где состояние отражает и внутр. структуру частиц, т. е. характеризуется нек-рым дискретным индексом а, напр. проекцией спина. При взаимодействии друг с другом такие частицы могут не только обмениваться импульсами, но и менять свой дискретный индекс. Это обстоятельство требует обобщения анзатца Бете.

Рассмотрим систему из N частиц. Пусть 5028-57.jpg и P=(p1,...,pN)- перестановки целых чисел 1, ..., N. Обобщённый анзатц Бете состоит в том, что волновая ф-ция системы5028-58.jpg для области

5028-59.jpg

взаимной расстановки координат частиц имеет вид

5028-60.jpg

Ф-ции A(Q|P) разл. областей связаны между собой через S-матрицу. Если области 5028-61.jpg отличаются друг от друга перестановкой i и j частиц, то эту связь в общем виде можно записать в виде соотношения

5028-62.jpg

Величина5028-63.jpg наз. двухчастичной матрицей рассеяния. Используя многократно правило (9) для перестановки одной пары частиц, мы можем любую перестановку свести к тождественной перестановке 5028-64.jpg Ко-эф. 5028-65.jpg будут связаны соотношением, в к-ром стоит произведение S-матриц, отвечающих всем транспозициям пары индексов, к-рые нужно сделать для сведения перестановки5028-66.jpgк I. Т. о. возникает многочастичная матрица рассеяния, к-рая оказывается мультипликативной.

Между элементами двухчастичной матрицы рассеяния существует соотношение, играющее центр. роль в теории квантовых одномерных систем. Это соотношение следует из эквивалентности двух возможностей трёхчастичного процесса рассеяния. Используя такую параметризацию импульсов5028-67.jpg при к-рой матрица рассеяния S(p1,p2)будет ф-цией разности б ы с т р о т l1 и l2, S(l1-l2), соотношение для факторизованной трехчастичнои матрицы можно записать в виде

5028-68.jpg

(по повторяющимся индексам подразумевается суммирование). Подобного типа соотношения при точном решении конкретных одномерных задач были получены в 1967 Ч. Янгом [4] и в 1972 Бакстером и наз. у р а в н е н и я м и Я н г а-Б а к с т е р а, а параметр5028-69.jpg наз. с п е к тр а л ь н ы м п а р а м е т р о м.

Квантовый метод обратной задачи. В этом методе одним из центральных объектов является т р а н с ф е р-м а тр и ц а T. Она определяется следующим образом:

5028-70.jpg

где 5028-71.jpg -два набора чисел, каждый из к-рых может пробегать все l значений дискретного индекса a(или 5028-72.jpg . Такая искусств. конструкция T-матрицы размерности lN полезна тем, что проблема диагонализации гамильтониана задачи сводится к отысканию собств. значений этой матрицы, что может представить выполнимую задачу.

Запишем трансфер-матрицу в инвариантной форме, перейдя от S-матрицы размерности l к нек-рой 5028-73.jpg-матрице размерности lN+1 , следующим образом:

5028-74.jpg

В многомерном пространстве эта матрица диагональна по всем индексам 5028-75.jpg кроме i = n. Выражение для T-матрицы в таком случае записывается в виде следа от произведения 5028-76.jpg-матриц, взятого только по вспомогат. матричным индексам gx и g'x:

5028-77.jpg

В операторной форме

5028-78.jpg

где

5028-79.jpg

наз. м а т р и ц е й м о н о д р о м и и; её размерность равна lN + 1.

Соотношение (10) для S-матриц можно переписать в терминах 5028-80.jpg-матриц, вводя матрицу 5028-81.jpg ф-лой

5028-82.jpg

Тогда имеет место следующее ур-ние:

5028-83.jpg

Отсюда следует аналогичное ур-ние для матрицы монодромии:

5028-84.jpg

Ур-ния (15) и (16) удобно переписать в др. форме, если подействовать на них оператором перестановки 5028-85.jpg индексов x и h :

5028-86.jpg

где введена 5028-87.jpg-матрица размерности l2,

5028-88.jpg

и символ тензорного произведения5028-89.jpg Все ур-ния (15) - (18) также наз. ур-ниями Янга - Бакстера. Для ранее введённых T-матрицы и матрицы монодромии также справедливы ур-ния Янга - Бакстера. Дальнейшая программа состоит в том, чтобы установить связь этих матриц с гамильтонианом системы и провести их диагонализацию. Эта программа и составляет содержание КМОЗ и может быть фактически реализована только для конкретной системы. Проиллюстрируем технику КМОЗ на примере анизотропной гейзенберговской цепочки (XYZ-модели).

Для исследования системы с гамильтонианом (1) выберем в качестве двухчастичной матрицы рассеяния выражение

5028-90.jpg

с разл. величинами wj (суммирование по j ведётся по четырём индексам: j=x, у, z и 0, причём s0представляет собой единичную двухрядную матрицу). Матричная запись S-матрицы будет следующей:

5028-91.jpg

где

5028-92.jpg

Записав с помощью выражения для S-матрицы локальные 5028-93.jpg -матрицы и R-матрицу, из ур-ния Янга-Бакстера находим систему ур-ний для определения величин 5028-94.jpg . Для XYZ-модели решение этой системы ур-ний приводит к следующей эллиптич. параметризации для коэф. матрицы рассеяния:

5028-95.jpg

где k - модуль эллиптич. синуса. Величины h и k параметризуют две независимые константы гамильтониана (1). Эта параметризация выражается эллиптич. ф-циями Якоби

5028-96.jpg

В частном случае k=0 получаем 5028-97.jpg т.е. переходим к XYZ-модели, при этом эллиптич. параметризация переходит в тригонометрическую.

Установив зависимость элементов матрицы рассеяния от спектрального параметра l, можно убедиться, что в точке l=0 S-матрица совпадает с матрицей перестановки. Если с помощью этого частного значения S-матрицы образовать трансфер-матрицу по ф-ле (11), то именно через неё будут выражаться гамильтониан и импульс системы.

Сформулируем теперь общую схему квантового метода обратной задачи. Она состоит в двукратном использовании ур-ний Янга-Бакстера. На первом этапе решается ур-ние (17) в локальной форме и находится параметризация элементов матрицы рассеяния S(l) т. е. их зависимость от спектрального параметра l. На втором этапе используется ур-ние Янга - Бакстера в форме (18), из к-poro получаются коммутац. соотношения для матрицы монодромии. С их помощью производится диагонализа-ция трансфер-матрицы и находятся в явном виде её собств. значения. Гамильтониан системы и импульс выражаются через трансфер-матрицу, поэтому её диагонализация означает и диагонализацию гамильтониана, т. е., точнее, решение задачи.

Иллюстрирование схемы КМОЗ на примере XYZ-моде-ли показало, что для этой задачи было необходимо ввести S-матрицы вида (20). Существенно отметить, что для этой задачи введённая S-матрица не является физической, но представляет нек-рую абстрактную S-матрицу, использование к-рой в схеме КМОЗ приводит к диагонализации гейзенберговского гамильтониана. Для др. физ. задач, напр. о цепочке Хаббарда или об эффекте Кондо, частицы имеют внутр. симметрию и их состояния характеризуются дискретным индексом, конкретно - проекцией спина, поэтому физ. S-матрица в этих задачах является матрицей по этим индексам. Она должна удовлетворять ур-нию Янга - Бакстера, и с её помощью вводятся описанные выше ма-тем. конструкции КМОЗ - матрица монодромии 5028-98.jpg и трансфер-матрица Т. Однако этих величин недостаточно для полного решения задачи. Особую проблему составляет учёт периодических граничных условий. В рамках КМОЗ эта проблема нахождения импульсов сводится к диагонализации трансфер-матрицы Т на т. н. нерегулярной решётке.

Одномерная модель Хаббарда. Гамильтониан одномерной цепочки Хаббарда (см. Зонный магнетизм)записывается в виде

5028-99.jpg

где5028-100.jpg -операторы уничтожения и рождения электрона на узле i со спином 5028-101.jpgТочное решение одномерной Хаббарда модели было дано в 1968 Э. Либом и Ф. By [5]. Решению этой задачи предшествовало точное решение Ян-том проблемы одномерной системы мн. частиц с d-образ-ным отталкиванием. В результате оказалось, что для полузаполненной зоны (т. е. в случае, когда число электронов, приходящихся на один узел, равно единице) осн. состояние одномерной модели Хаббарда для любого ненулевого значения кулоновского отталкивания U является диэлектрическим с антиферромагн. взаимодействием, но без дальнего порядка. В случае, когда зона заполнена не наполовину, Либ и By нашли, что эта система при U>0 должна быть проводящей.

Характерной чертой одномерной модели Хаббарда является разделение спиновой и зарядовой степеней свободы. В соответствии с этим в этой модели существуют два типа элементарных возбуждений. Со спиновой степенью свободы ассоциируется возбуждение фермиевской природы, имеющее спин 1/2 - спинон, а с зарядовой - х о л о н- элементарное возбуждение тоже фермиевской природы, несущее заряд, но не имеющее спина.

Использование квантового метода обратной задачи в одномерной модели Хаббарда позволяет продвинуться в решении более сложной задачи-определения асимптотики корреляц. ф-ций на больших расстояниях и вычисления соответствующих критич. показателей. Корреляц. ф-ции системы, находящейся в точке фазового перехода, т. е. при темп-ре абс. нуля для одномерной модели Хаббарда, могут быть найдены с помощью методов конформной теории поля.

Эффект Кондо. Ещё одним ярким достижением использования КМОЗ в статистич. механике явилось точное решение задачи о примесном атоме с локализов. магн. моментом, помещённом в немагн. кристалл. Первые исследования задачи о рассеянии электронов проводимости на такой примеси в следующих за борновским приближениях показали существенные температурные аномалии, в частности спиновую экранировку примеси при низких темп-pax. Совокупность этих явлений получила назв. Кондо эффекта .Долгое время эта проблема была предметом исследования, но все подходы к ней основывались на разл. вариантах теории возмущений. Точное решение этой задачи дано в 1980 П. Б. Вигманом [6] и Н. Андреем [7] независимо друг от друга. Были вычислены энергия осн. состояния и выражение для свободной энергии, позволившее получить такие термодинамич. величины, как примесная теплоёмкость и восприимчивость, представляющие в этой проблеме осн. интерес.

Модель Тирринга. Большие возможности для дальнейшего описания XYZ-модели даёт переход от дискретной цепочки к непрерывной струне, когда параметр цепочки 5028-102.jpg . В этом пределе задача сводится к точно решаемой одномерной массивной модели Тирринга, хорошо известной в КТП. Эта модель описывает систему бесспиновых фермионов двух сортов, движущихся в противоположных направлениях со скоростью u:

5028-103.jpg

где 5028-104.jpg -двухкомпонентный спинор, а r1=(1/a)y1+y1

и r2=(1/a)y2+y2-плотности ферми-частиц сорта 1 и 2. Параметры модели Тирринга (u-скорость, т0 - масса фермиона, g-константа связи между фермионами) находятся в след. соответствии с параметрами XYZ-модели:

5028-105.jpg

т. е. анизотропия в (х, y)-плоскости соответствует массе фермиона, а параметр продольного обмена - межферми-онному взаимодействию.

Фермионная модель для безмассовых частиц (т0 = 0, Jx = Jy)наз. м о д е л ь ю Л а т т и н ж е р а. Она, очевидно, соответствует XXZ-модели в континуальном пределе. Точное решение этой модели может быть получено разными методами. Среди них вызывает интерес метод, основанный на идее б о з о н и з а ц и и ферми-систем. Оказывается, что модель Латтинжера, а также ряд др. моделей (среди них, напр., уже упоминавшаяся выше модель Хаббарда) демонстрируют совершенно необычное поведение с точки зрения теории обычной ферми-жидкости (системы взаимодействующих фермионов; см. Квантовая жидкость ).Прежде всего это разделение спиновой и зарядовой степеней свободы и существование двух типов элементарных возбуждений фермиевской природы-нейтральных спинонов и заряж. холонов, а также существование необычных показателей корреляц. ф-ций. В отличие от ферми-жидкости, ф-ция распределения частиц по импульсам в осн. состоянии не имеет скачка на поверхности Ферми. Все эти свойства выделяют системы, к-рые точно решаются методом бозонизации, в особый класс взаимодействующих систем, получивший назв. ж и д к о с т и Л а т т и н ж е р а (см. [8]). Возможно, что эти необычные свойства при нек-рых условиях, в принципе, могут реализоваться и в системах с большой размерностью, что, естественно, позволит описать те эксперим. результаты, к-рые не вписываются в теорию обычной ферми-жидкости (напр., данные по высокотемпературной сверхпроводимости).

Завершая обсуждение XYZ-модели и всех моделей, сводящихся к ней, необходимо заметить, что все они эквивалентны квантовому синус-Гордона уравнению, прототипом к-poro является классич. одномерное нелинейное ур-ние. Создание квантового метода обратной задачи стимулировало поиск новых точных решений (см. [10-14]), причём они получены не только для одномерных квантовых систем, но также и для двумерной классич. гейзенберговской модели, где была использована инвариантность относительно конформных преобразований (А. М. Поляков и Вигман [9 ]).

Лит.: 1) Bethe H., Theorie der Metalle. I. Eigenwerte und Eigen-funktionen der linearen Atom-Kette, "Z. Physik", 1931, Bd 71, S. 205; 2) Baxter R., One-dimensional anisotropic Heisenberg chain, "Ann. Phys.", 1972, v. 70, p. 323; 3) Tахтаджян А. Л., Фаддеев Л. Д., Квантовый метод обратной задачи и XYZ-модель Гёйзенберга, "Успехи матем. наук", 1979, т. 34, № 5, с. 13; 4) Yang С. N., Some exact results for many-body problem in one dimension with repulsive delta-function interaction, "Phys. Rev. Lett.", 1967, v. 19, p. 1312; 5) Lieb E. H., Wu F. Y., Absence of Mott transition in an exact solution of short-range 1-band model in 1 dimension, "Phys. Rev. Lett.", 1968, v. 20, p. 1445; 6) Вигман П. Б., Точное решение s - d обменной модели при T=0, "Письма в ЖЭТФ", 1980, т. 31, с. 392; 7) Andrei N., Diagonalization of the Kondo - Hamiltonian, "Phys. Rev. Lett.", 1980, v. 45, p. 379; 8) Haldane F. D. M., Luttinger liquid theory of one-dimensional quantum fluids. 1. Properties of the Luttinger model and their extension to the general 1 D interacting spinless Fermi gas, "J. Phys. C", 1981, v. 14, p. 2585; 9) Polyakov A. M., Wiegmann P. В., Theory of non-abelian Goldstone bosons in 2 dimensions, "Phys. Lett. B", 1983, v. 131, p. 121; 10) Бэкстер Р., Точно решаемые модели в статистической механике, пер. с англ., М., 1985; 11) Tsvelick A. M., Wiegmann Р. В., Exact results in the theory of magnetic alloys, "Adv. Phys.", 1983, v. 32, p. 453; 12) Годен M., Волновая функция Бете, пер. с франц., М., 1987; 13) Изюмов Ю. А., Скрябин Ю. Н., Статистическая механика магнитоупоря-доченных систем, М., 1987; 14) Боголюбов Н. М., Изергин А. Г., Корепин В. Е., Корреляционные функции интегрируемых систем и квантовый метод обратной задачи, М., 1992.

Ю. Н. Скрябин.


  Предметный указатель