ультрафиолетовые расходимости

УЛЬТРАФИОЛЕТОВЫЕ РАСХОДИМОСТИ в к в а н т ов о й т е о р и и п о л я (КТП)-расходимости интегралов по 4-импульсам виртуальных частиц в области больших импульсов (УФ-области) при вычислениях в релятивистской КТП. Термин, как правило, ассоциируется с расходи-мостями Фейнмана диаграмм, возникающими в перенормированной теории возмущений. Однако он имеет более широкое значение, поскольку У. р. оказываются непременным атрибутом всех (в т. ч. не связанных с теорией возмущений) вычислений в КТП. Общий характер природы У. р. обусловлен сингулярным характером перестановочных и причинных Грина функций, т. е. в конечном счёте локальностью взаимодействия.

Проблема У. р. аналогична известной проблеме классич. электродинамики, в к-рой полевая часть массы электрона оказывается бесконечной в силу его точечности. Подобно этому, в КТП все У. р. в конечном счёте оказываются связанными с полевыми поправками к массам и зарядам частиц.

Простейший пример У. р. даёт интеграл

к-рый, по правилам Фейнмана, соответствует скалярной петле, изображённой на рис. 1, и логарифмически расходится в УФ-области при (где k - 4-импульс виртуальной скалярной частицы). Расходимость этого интеграла непосредственно связана с тем, что формально он равен фурье-образу квадрата причинной ф-ции Грина D^c(x)скалярного поля

Поскольку последняя является обобщённой функцией с особенностями на световом конусе

то символ , стоящий под знаком интеграла, не имеет ясного матем. смысла и нуждается в доопределении. Аналог операции доопределения в импульсном представлении обычно формулируется в виде операции вычитания (см. Перенормировки).

В более общем случае, по правилам Фейнмана, виртуальным линиям диаграмм в подынтегральных выражениях отвечают множители (пропагаторы) вида где P(k) - полином по компонентам k, степень к-рого, как правило, равна удвоенному спину квантов соответствующего поля. Кроме того, вершинам диаграмм могут соответствовать положит. степени компонент "втекающих" в эту вершину импульсов в тех случаях, когда лагранжиан взаимодействия содержит производные от полевых функций (подобная ситуация имеет место в квантовой хромоди-намике). Поэтому характер расходимости интегралов в общем случае оказывается степенным. Важный пример такого рода даёт однопетлевая диаграмма поляризации вакуума в квантовой электродинамике (КЭД), изображённая на рис. 2. В координатном представлении ей соответствует выражение

где S^c(x) - пропагатор Дирака поля, а в импульсном представлении- интеграл

к-рый в области больших значений q расходится квадратично. Аналогичная ситуация имеет место для однопет-левой диаграммы собственной энергии электрона, изображённой на рис. 3. В импульсном представлении ей соответствует интеграл, к-рый по формальному счёту степеней расходится линейно, а в действительности - логарифмически. Эта У. р. является прямым аналогом упомянутой выше линейной расходимости полевой массы классич. электрона.

Чрезвычайно важной характеристикой данной модели КТП является характер изменения (или неизменность) степени расходимости с ростом порядка теории возмущений для данного матричного элемента, что соответствует увеличению числа внутр. линий и петель при неизменности числа и типа внеш. линий. Если, напр., усложнить диаграмму рис. 2 за счёт введения дополнит. внутр. фотонной линии, то полученная двухпстлевая диаграмма, изображённая на рис. 4, будет отвечать двойному 4-импульсному (т. е. 8-кратному) интегралу , суммарная степень У. р. к-рого, подобно П⁽¹⁾, также равна двум. В общем случае можно показать, что поляризационный оператор представимый в виде вкладов сильносвязных диаграмм с двумя фотонными внеш. линиями, т.е. в виде степенного разложения в каждом порядке по a расходится в точности квадратично.

Подобная ситуация имеет место и для др. величин в КЭД. При этом степень расходимости, не зависящая от числа петель диаграммы, определяется лишь числом и типом внеш. линий. Свойство независимости степени расходимости от порядка теории возмущений имеет решающее значение для устранения У. р. с помощью операции перенормировок.

Несколько упрощая, можно сказать, что в данном случае это свойство определяется безразмерностью параметра разложения, т. е. константы связи е (в системе единиц, где h = с= 1). В подобных моделях КТП с безразмерными константами связи (напр., в квантовой хромодинамике) имеется ещё одно важное свойство: число типов расходящихся диаграмм оказывается конечным и небольшим. Так, в КЭД расходятся лишь диаграммы 3 типов, изображённые на рис. 5. Других расходящихся сильносвязных диаграмм в КЭД нет. Такие модели в КТП наз. ренормируемыми (перенормируемыми).

В противоположность этому модели, .в к-рых константа (или хотя бы одна из констант) связи имеет отрицат. массовую размерность (напр., 4-фермионное взаимодействие фермиевского типа где , не обладают подобными простыми свойствами: степени расходимости диаграмм возрастают с ростом числа петель l, а число типов расходящихся диаграмм оказывается бесконечным. Такие модели наз. неперенор-мируемыми.

Лит.: Боголюбов К. H., ПІирков Д. В., Квантовые поля, 2 изд., M., 1993, гл. 6. Д. В. Ширков.

   <<      Предметный указатель      >>