упорядоченности относительной критерий

УПОРЯДОЧЕННОСТИ ОТНОСИТЕЛЬНОЙ КРИТЕРИЙ -способ количественного сравнения относительной степени упорядоченности (или, напротив, хаотичности) состояний открытых систем. В качестве У. о. к. может быть выбрано, напр., сравнение значений показателей Ляпунова, энтропии Крылова-Колмогорова-Синая (см. Эргодиче-ская теория], а также фрактальных размерностей (см. Фрактал ы)рассматриваемых систем. Одним из наиб, эффективных является У. о. к., формулируемый в виде т. н. S-теоремы (от англ. Selforganization-самоорганизация). Этот критерий даёт возможность судить не только об относит, степени упорядоченности любых сравниваемых состояний, но и о характере эволюции (напр., наличии самоорганизации или дезорганизации). Более того, этот У. о. к. носит и конструктивный характер, т. к. позволяет судить о правильности выбора параметра а в качестве управляющего и может быть основан непосредственно на эксперим. данных.

Формулировка У. о. к. Для сравнения относит, степени упорядоченности двух произвольно выбранных состояний открытой системы предлагается следующая последовательность действий. При двух значениях внеш. параметров, принятых за управляющие (т. е. позволяющих изменять характер эволюции в открытой физ. системе), из эксперимента находятся две достаточно длинные временные реализации характерных величин, описывающих систему По ним строятся ф-ции распределения нормированные на единицу; далее, в свою очередь, могут быть найдены соответствующие значения энтропии Больцмана - Гиббса- Шеннона. . 1

В статистич. теории энтропия служит мерой неопределённости рассматриваемых состояний системы при статистич. описании. Разность энтропии Шеннона не может, однако, быть мерой относит, степени хаотичности (или упорядоченности) выделенных состояний, т. к. она не является функционалом Ляпунова (см. Устойчивость движения ).Это имеет место лишь при условии, что сравнение производится при одинаковых значениях энергии - ф-ции Гамильтона. В таком случае энтропия равновесного состояния максимальная и, следовательно, равновесное состояние при указанном условии является наиб, хаотическим.

Для открытых неравновесных систем понятие энергии в общем случае не определено, в связи с чем предлагается следующая возможная процедура. Одно из рассматриваемых состояний (напр., с а₀) принимается за состояние "физ. хаоса", к-рое может быть и существенно неравновесным, причём У. о. к. позволяет проверить справедливость этого выбора. Далее, по ф-ции f₀ вводится эфф. энергия - точнее, эфф. ф-ция Гамильтона Ф-ция /о путём введения эфф. темп-ры Т_эфф приводится к виду канонического распределения Гиббса с ф-цией Гамильтона

H_эфф- ^

Зависимость T_эфф от изменения управляющего параметра находим из условия одинаковости ср. значений эфф. ф-ции Гамильтона Н_эфф

В правой части этого ур-ния стоят ф-ции, к-рые известны из эксперимента. В левой части имеется одна неизвестная ф-ция - эфф. темп-pa Если решение ур-ния таково, что

т. е. для выполнения условия (2) состояние с а = а₀ надо "подогреть", то сделанное предположение о большей хаотичности состояния с а = а₀ оправдано и состояние с более упорядоченно. Количественно различие в степени упорядоченности определяется разностью энтропии:

Итак, выводы об относит, степени упорядоченности определяются двумя результатами (3), (4). Во многих случаях вместо временных реализаций удобно использовать соответствующие временные спектры. По ним можно найти ф-ции распределения значений интенсивности или частоты. Для характеристики динамической неустойчивости движения, приводящей к хаосу динамическому., полезно использовать временные зависимости расстояний между траекториями D = D(t, а] при разных значениях управляющего параметра. По ним строятся соответствующие ф-ции распределения f(D, а), и далее используется описанный выше У. о. к.

Выбор управляющих параметров а представляет во многих случаях самостоят, задачу. В классич. и квантовых генераторах их роль могут играть обратная связь и накачка; в гидродинамике - это значения чисел Рейнольдса, Рэ-лея и Тэйлора; в мультистабильных системах характер эволюции зависит от выбора нач. условий; в системах с иерархией характерных времён управляющим параметром может служить "медленное" время.

Применение У. о. к. Предлагаемый У. о. к. был установлен первоначально на двух примерах неравновесных процессов: 1) развитие генерации в автоколебательных системах по мере увеличения коэффициента положит, обратной связи; 2) переход от ламинарного течения к стационарному турбулентному течению в каналах по мере роста числа Рейнольдса. Если увеличение степени упорядоченности по мере развития; генерации представляется очевидным, то второй пример является более сложным.

Традиционно турбулентное движение считается более хаотическим, чем ламинарное. Однако сравнение относит, степени упорядоченности стационарного турбулентного и ламинарного течений на основе У. о. к. S-теоремы показывает, что турбулентное движение является в определ. смысле более упорядоченным, а переход от ламинарного течения к турбулентному служит примером неравновесного фазового перехода. Роль параметра порядка играет при этом тензор напряжений Рейнольдса, к-рые определяются коллективными движениями, возникающими из хаотического молекулярного движения. По У. о. к. S-теоремы разность энтроций ламинарного и стационарного турбулентного течений определяется выражением

т. е. энтропия ламинарного течения больше энтропии ос-реднённого турбулентного течения. Изменение энтропии определяется дисперсией гидродинамич. скорости ди- суммой диагональных элементов тензора напряжений Рейнольдса. Этот результат, согласно S-теореме, показывает, что переход от ламинарного течения к турбулентному представляет собой пример процесса самоорганизации. к Большая организованность турбулентного течения проявляется, в частности, в следующем. В ламинарном потоке перенос импульса от слоя к слою, приводящий к появлению вязкости, осуществляется независимыми изменениями импульса отд. атомов. В противоположность этому, при турбулентном течении перенос импульса и связанное с ним сопротивление есть коллективный процесс.

Важной характеристикой степени упорядоченности является -производство энтропии .Сопоставление значений производства энтропии двух видов движения: стационарного (осреднённого) турбулентного течения и неустойчивого при числах Рейнольдса, больших критич. значения (Re>Re_Kp) ламинарного течения, показывает, что при дополнит, условии постоянства напряжения на стенках канала производство энтропии при турбулентном (устойчивом при Re > Re_Kp) течении меньше производства энтропии при ламинарном (неустойчивом при Re>Re_Kp) течении, т. е.

Т. о., новому устойчивому состоянию, к-рое устанавливается в результате рассматриваемого неравновесного фазового перехода, отвечает меньшее производство энтропии.

Обобщение У. о. к. В неравновесной термодинамике имеет место принцип минимума производства энтропии в стационарном состоянии (Пригожина теорема} ,согласно к-рому где -производство энтропии в стационарном состоянии, а -производство энтропии в неустановившемся (текущем) состоянии. Этот результат доказан для линейных термодинамич. систем; общее доказательство для нелинейных систем отсутствует. На основе неравенства (6) предлагается сформулировать общий принцип минимума производства энтропии в процессах самоорганизации следующим образом.

Рассмотрим нек-рый процесс самоорганизации, формулируемый последовательностью стационарных состояний, отвечающих разл. значениям управляющего параметра а. Пусть а_кр-критич. значение, при к-ром происходит очередная бифуркация или, иными словами, неравновесный фазовый переход. Обозначим через значение производства энтропии в новом устойчивом состоянии, к-рое возникло в результате этого перехода [этой величине отвечает в ф-ле (6)]. Прежнее - добифуркационное состояние становится при а > a_кр неустойчивым и не реализуется. Если, однако, обозначить производство энтропии в этом состоянии через [эта величина соответствует в ф-ле (6)], то предлагаемый принцип выражается неравенством , ...

к-рое показывает, что при неравновесных фазовых переходах в ходе процесса самоорганизации система идёт по пути уменьшения производства энтропии. Разумеется, как и при переходе от ламинарного течения к турбулентному, расчёт значений и следует проводить при дополнит, условиях, конкретный вид к-рых зависит от структуры рассматриваемой системы.

Вопрос об общем доказательстве принципа (7) остаётся открытым. Однако если даже окажется, что применимость его ограничена, то всё же сделанное на основе частного результата (6) общее утверждение (7) может стать стимулирующим.

Лит.: Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Гидродинамика, 4 изд., М., 1988; Монин А. С., Яглом А. М., Статистическая гидромеханика, 2 изд., СПб., 1992; Климонтович Ю. Л., Энтропия и производство энтропии при ламинарном и турбулентном течениях, "Письма в ЖТФ", 1984, т. 10, в. 2, с. 80; EbelingW., Klimontovich Y. L., Selforganization and turbulence in liquids, Lpz., 1984; Климонтович Ю. Л., Энгель-Херберт X., Ос-редненные стационарные турбулентные течения Куэтта и Пуазейля в несжижаемой жидкости, "ЖТФ", 1984, т. 54, с. 440; Пригожий И., Стенгерс И., Порядок из хаоса, пер. с англ., М., 1986; Климонтович Ю. Л., Проблемы статистической теории открытых систем: критерии относительной степени упорядоченности состояний в процессах самоорганизации, "УФН", 1989, т. 158, с. 59; его же, Турбулентное движение и структура хаоса, М., 1990, Dordtecht, 1991; Lesieur M., Turbulence in fluids, 2 ed., [Dordrecht], 1990; ХакенГ., Информация и самоорганизация, пер. с англ., 1991; Зубарев Д. Н., Морозов В. Г., Трошкин О. В., Турбулентность как неравновесный фазовый переход, "ТМФ", 1992, т. 92, № 2, с. 293; Klimontovieh Y. L., Statistical theory of open systems, Dordrecht, 1995. •- Ю. Л. Климонтович.

   <<      Предметный указатель      >>