устойчивость солитонов

УСТОЙЧИВОСТЬ СОЛИТОНОВ -раздел теории устойчивости движения, изучающий эволюцию солитонов ,подверженных нек-рому возмущению в нач. момент времени. В зависимости от тииа возмущения и способа его описания различают неск. видов У. с. На практике обычно ограничиваются рассмотрением малых возмущений, т. е. линеаризуют ур-ния движения. Однако такой подход не всегда даёт правильный ответ, как было показано ещё А. М. Ляпуновым, разработавшим строгий метод исследования устойчивости- прямой метод. В применении к солитонам этот метод известен в неск. вариантах: энергетич. метод Арнольда, функциональный метод Захарова - Кузнецова и др. Эти методы отличаются лишь способом доказательства существования минимума функционала Ляпунова.

1. Основные определения и теоремы прямого метода. Под солитонами будем понимать регулярные локализованные решения исходных ур-ний, заданных в пространстве размерности D. Пусть поле рассматриваемое как элемент банахова пространства В с нормой d=||j||_B, подчиняется ур-нию эволюции

где-нек-рый нелинейный оператор. Будем предполагать, что ур-ние (1) при заданных нач. условиях j(0, x)=j₀(x) допускает единств. решение солитонного типа:

где -эволюционный оператор с полугрупповыми свойствами, т. е.

Понятие устойчивости заданного невозмущённого движения (солитона) j=u(t, x) тесно связано с понятием корректности Коши задачи по Адамару. Чтобы его определить, введём две метрики в пространстве ф-ций, описывающие возмущения поля

Именно, пусть метрика r₀(x₀) задаёт расстояние в пространстве нач. возмущений x₀, а метрика r(x)-в пространстве текущих возмущений x. В обычных предположениях r₀(x)>r(x) [говорят, что метрика r₀ жёстче (сильнее), чем метрика r]. Задача Коши для ур-ния (1) наз. корректной по Адамару, если для любого из следует Солитонное решение и наз. у ст о й ч и в ы м в с м ы с л е Л я п у н о в а по метрикам r₀, r, если для всякого e>0 существует d(e)>0 такое, что из r₀(x₀)<d вытекает неравенство r(x)<e при t>0. Т.о., корректность по Адамару - это устойчивость на конечном интервале времени Т. Наконец, решение и а с и м п т о т ич е с к и у с т о й ч и в о п о Л я п у н о в у, если оно устойчиво и при

Однако в физике солитонов приходится иметь дело не с одним солитонным решением u(t, x), а с нек-рым их множеством U={u}, задаваемым обычно групповыми параметрами a, т. е.

где G - группа симметрии задачи, -оператор представления (см. Представление группы). В таком случае текущая метрика понимается уже как т. е. как расстояние от j до множества U-орбиты группы G, а устойчивость наз. о р б и т а л ь н о й.

На практике часто ограничиваются линеаризованными ур-ниями:

Устойчивость для линейной задачи (2) наз. л и н е а р и з ов а н н о й у с т о й ч и в о с т ь ю или у с т о й ч и в о с т ь ю в п е р в о м п р и б л и ж е н и и, а для полного ур-ния (1) - н е л и н е й н о й у с т о й ч и в о с т ь ю. Ясно, что из нелинейной устойчивости вытекает устойчивость в первом приближении, но, вообще говоря, в более слабой метрике. Обратное же верно, если только где - спектр оператора При этом говорят о с п е к т р а л ьн о й у с т о й ч и в о с т и, если Re l<=0, и о н е й т р а л ь н о й, если Rel=0

Заметим, что из линеаризованной устойчивости вытекает спектральная, т. к. если бы было Rel>0 то существовали бы растущие моды. Обратное неверно, что подтверждается следующим примером из механики. Гамильтониан приводит к ур-нию движения для к-рого линеаризованное ур-ние имеет спектр l=0 (нейтральная устойчивость). Однако его решение x =at+b линейно растёт, т. е. наблюдается линеаризованная неустойчивость, хотя исходная система нелинейно устойчива. Т. о., линеаризованная система оказывается устойчивой только по скоростям, или в более слабой метрике.

Известно также, что из спектральной неустойчивости для широкого класса систем вытекает нелинейная неустойчивость. Напр., это верно для систем (1) со свойством

Cформулируем осн. тещрему прямого метода.

Те о р е м а Л я п у н о в а - М о в ч а н а о б у с т о й ч ив о с т и (1960). Для устойчивости решения u пренадлежит U по метрикам r₀, r необходимо и достаточно, чтобы в нек-рой его окрестности r₀<a существовал ф у н к ц и о н а л Л я п у н ов а V[j] со следующими свойствами: V положительно определён по метрике r, непрерывен по метрике r₀, не растёт со временем вдоль траектории движения.

Условия теоремы означают, что существуют две непрерывные монотонно растущие ф-ции m(r)>0 и называемые соответственно нижней и верхней ф-циями сравнения, такие, что справедливы неравенства

Пусть r₀<d, тогда из (3) вытекает, что откуда r<e т. е. движение устойчиво.

Выбор метрик r и r₀ диктуется видом функционала Ляпунова. Пусть V-аддитивный функционал, т. е.

и решение и является его критич. точкой. Тогда и поэтому справедливо представление

Если же V-глобально выпуклый функционал, то Это позволяет выбрать в качестве текущей метрики

В этом и состоит м е т о д В. И. А р н о л ь д а (1965), в к-ром полагается V=H+C где H-гамильтониан (энергия), а С-нек-рый интеграл движения (инвариант Казимира), выбираемый так, чтобы dV[u]=0 Т. о., выбор метрики определяется структурой d²V, согласно (5). Отметим, что представление (4) удобно в тех случаях, когда ур-ния движения содержат вторую производную по времени.

Часто используется также понятие ф о р м а л ь н о й, или э н е р г е т и ч е с к о й, у с т о й ч и в о с т и, когда существует закон сохранения

или закон эволюции такие, что в окрестности изучаемого решения Ясно, что из энергетич. устойчивости вытекает линеаризованная, т. к. в силу линеаризованных ур-ний эволюции и чтобы убедиться в устойчивости, достаточно взять Однако обратное неверно, что подтверждается примером из механики, когда гамильтониан имеет вид :

Линеаризованная устойчивость в этом примере очевидна (два независимых осциллятора), но квадратичная форма знакопеременна.

Наконец, говорят об у с т о й ч и в о с т и в ц е л о м или г л о б а л ь н о й у с т о й ч и в о с т и, если система устойчива для любых, как угодно больших, значений r₀, r Это наиб. сильная устойчивость.

Осн. критерий неустойчивости даётся следующей теоремой.

Т е о р е м а Ч е т а е в а - Мовчана о н е у с т о й ч и в ос т и (1960). Для неустойчивости решения по метрикам Ро, р необходимо и достаточно, чтобы существовал функционал Четаева W[j] со следующими свойствами: W непрерывен по метрике r₀, ограничен по метрике r, растёт со временем вдоль траектории движения в области W>0. Т. о., смысл теоремы состоит в том, что обеспечивается существование таких нач. возмущений, к-рые выводят систему из заданного режима движения.

Осн. задача исследования У. с. прямым методом состоит в отыскании соответствующих функционалов V или W. Если функционал Ляпунова выбран, то предстоит убедиться в его выпуклости, т. е. в выполнении условия , Однако на практике в лучшем случае удаётся проверить лишь локальное условие Т. о., представляется необходимым изучить структуру второй вариации функционала Ляпунова. При этом выясняется, что в наиб. распространённом случае, когда солитонное решение u(t, х)стационарно, т. е. удовлетворяет ур-ниям

где V-аддитивный функционал вида (4), для достаточно быстро убывающих на пространственной бесконечности солитонных конфигураций с асимптотикой типа

, вторая вариация

при D>=2 знакопеременна в стандартной метрике напр. в метрике (т. н. обобщённая теорема Хобарта-Деррика).

Вышесказанное означает, что если ограничиться аддитивными функционалами Ляпунова (4), то возможно существование только условно-устойчивых многомерных стационарных солитонов, т. е. устойчивых лишь при нек-рых ограничениях на нач. возмущения x₀. Такие ограничения возникают естественно для случая топологических солитонов., наделённых тождественно сохраняющимися интегральными характеристиками-топологическими зарядами, учёт к-рых упрощает анализ устойчивости. В связи с этим ограничимся распространённым случаем нетополо-гич. солитонов, для к-рых естественной оказывается орбитальная устойчивость.

Известно, что любые условия на возмущения можно ввести в определение метрики r, хотя это и приводит к усложнению анализа. Для описания условной устойчивости множества U стационарных решений удобно выделить какое-то одно из них и (или нек-рое их подмножество, задаваемое параметрами w), а все остальные рассматривать как порождённые им в результате действия преобразований из группы G инвариантности ур-ния (1). Пусть G₀ - группа инвариантности функционала V в (4) и (6) с параметрами a₀, являющаяся подгруппой группы G с параметрами a={a₀, b} , где b-дополнит. параметры. В общем случае стационарное решение зависит как от групповых, a, так и негрупповых, w, параметров, т. е.

При этом стационарные решения ур-ний (6) отвечают выбору b=b₀ и образуют подмножество Множество стационарных решений, отвечающее фиксированным параметрам b₀, w=w₀ обозначим . Солитонную конфигурацию будем называть возмущённой, если

При изучении орбитальной устойчивости естественно определить следующие метрики, задавшись нек-рой банат ховой нормой

Однако осуществляя в (7) минимизацию по параметрам, решения и, убеждаемся, что они становятся ф-циями времени, и поэтому предельная ф-ция в общем случае может не быть решением ур-ний движения. Это приводит к непривычному для физиков образу соли-тона с "плавающими" параметрами ("солитона - моллюска"), что инициировало поиски альтернативного описания. Чтобы преодолеть это затруднение, заметим, что одной из мотиваций выбора метрик (7) было запрещение нулевых мод и (где -генераторы группы), отвечающих сдвигам по групповым параметрам и обращающих в нуль d²V В самом деле, для из (7) следует, что r₁=0 Но последнего можно добиться и более про-стым способом. Напр., можно рассматривать пространство допустимых возмущений x как подпространство гильбертова пространства со скалярным произведением (,). выделенное условиями, Др. путь состоит в том, чтобы выбрать нек-рыи достаточно удалённый момент-времени t=T и "остановить" возмущённый солитон, совершив подходящее групповое преобразование , а затем осуществить минимизацию метрики d_g по (или ) и Это определит параметры a(Т)и соответствующую метрику В зависимости от выбора множества или U₀ получаются разные метрики [при фиксированных параметрах a=a(T)]:

Практически же указанная процедура исключения нулевых мод осуществляется путём фиксации набора интегралов движения Q_i (обобщённых зарядов) типа импульса Р, момента импульса L, числа частиц N, электрич. заряда Q и др. Устойчивость при фиксированных обобщённых зарядах Q_i получила назв. Q-у с т о й ч и в о с т и. Для наиб. распространённого случая, когда система обладает единственным зарядом Q , справедлива т. н. Q-теорема.

2. Q-теорема. Рассмотрим простой для анализа случай, когда солитон описывается комплексным скалярным полем y в четырёхмерном пространстве-времени Минков-ского. Пусть невозмущённое решение ур-ний движения имеет вид

где ф-ция и достаточно быстро убывает при Рассмотрим класс моделей, удовлетворяющих требованиям релятивистской и U(1)-инвариантностей (для и задаваемых лагранжевой плотностью вида

Здесь введены релятивистские инварианты где Построим также инвариантное множество U₀ невозмущённых солитонных решений, представляющее собой совокупность орбит группы включающей пространственные сдвиги, повороты и фазовые преобразования. Иными словами,

где -матрица 3-поворотов, Подчеркнём, что частота w в множестве (9) не фиксирована.

Если возмущённый солитон описывать полем

то возмущение x определим как Метрики r₀, r выберем в виде

где || ||- норма в значок С обозначает совместную норму в

Изучим Q-устойчивость солитонных решений (8), наложив условие фиксации заряда, уже предполагающееся в определении (10):

Введем удобные для дальнейшего обозначения:

Выберем в качестве функционала Ляпунова интеграл движения

где -энергия поля. Его вторая вариация может быть представлена в виде

где введены самосопряжённые операторы

Из (12) следует, что для положительной определённости необходимо выполнение неравенств F_p > 0, h > 0. Оказывается, что безузловые солитоны (u>0) могут быть устойчивыми, тогда как узловые солитоны (для к-рых на нек-рых поверхностях u = 0) всегда неустойчивы. Заметим, что для безузловых солитонов спектр оператора неотрицателен, т. к. u>0, и поэтому и - первая собственная ф-ция оператора L^{^}₂, тогда как нулевая мода x₂=u исключается выбором метрики r. Анализируя структуру второй вариации (12), можно установить справедливость следующей теоремы (Q-теоре-мы): безузловые стационарные решения (8) Q-устойчивы по Ляпунову в области

если в ней оператор имеет единств. отрицат. собств. значение, а собств. ф-ция y- удовлетворяет условию

Условия Q-теоремы необходимы для устойчивости безузловых солитонов, что можно установить с помощью следующего функционала Четаева:

где Вычисляя его производную, находим:

Отсюда следует, что в области . т. е. имеет место неустойчивость солитонов.

Чтобы убедиться в неустойчивости узловых солитонов, заметим, что в этом случае возмущение x₂ всегда содержит решение однородного ур-ния , допускающего знакопеременный интеграл "энергии"

т. к. оператор имеет отрицат. собств. значения. Это видно из ур-ния и наличия узлов у ф-ции и (r). Неустойчивость доказывается существованием функционала Четаева для к-рого W>0 в области

Рассмотрим примеры применения Q-теоремы для анализа устойчивости солитонов в D-мерном пространстве.

1) С т е п е н н а я м о д е л ь. В этом случае и ф-ция и(х)удовлетворяет ур-нию

к-рое имеет безузловое решение u(r) при условиях |w|<1,

Выполнив в (15) замену переменных:

находим заряд Q(w) невозмущённого солитона:

Из (16) следует, что условие (13) выполнено для частот

Условие (14) также выполнено, т. к. а ф-ция как первая собств. ф-ция оператора . Поэтому неравенство (17) определяет область устойчивости безузловых солитонов.

2) Л о г а р и ф м и ч е с к а я м о д е л ь задаётся ф-цией и допускает решения вида

Отсюда находим зависимость заряда от частоты:

определяющую, согласно (13), область устойчивости:

3) Шрёдингера уравнение нелинейное , допускает решения (8) с амплитудой u, подчиняющейся ур-нию (15) с переобозначением Замена переменных позволяет найти заряд как ф-цию от w:

Отсюда следует, что в области устойчивости а при солитоны неустойчивы. Это устанавливается с помощью функционала Четаева

3. Метод Захарова - Кузнецова (1974). Метод состоит в доказательстве ограниченности снизу энергии консервативной системы при условии фиксации нек-рых дополнит. интегралов движения. Проиллюстрируем метод на последнем примере, показав, что интеграл энергии в оценивается снизу через заряд Q. В самом деле,

Вводя обозначение I_2k=||y^k||², k=1, 2,..., и используя неравенства

приходим к оценке

Если 5>3n, то правая часть этого неравенства имеет минимум при

Поэтому энергия при фиксированном I₂= Q также имеет минимум, к-рый и реализуется на нек-рой стабильной конфигурации.

Используем метод Захарова - Кузнецова для доказательства существования стабильных солитонов ещё в двух распространённых моделях.

1) Кортевега - де Фриса уравнение (D=1) описывает волны на мелкой воде и допускает законы сохранения энергии

и импульса Используя неравенство Гальяр-до - Ниренберга-Ладыженской получаем оценку для энергии снизу:

Минимизируя правую часть этого неравенства по находим Т. о., при фиксированном импульсе Р=I₂ энергия ограничена снизу и имеет минимум, к-рый реализуется на нек-рой устойчивой конфигурации.

2) Кадомцева - Петвиашвили уравнение (D = 2)

рассматривается как двумерное обобщение ур-ния Кортевега- де Фриса и также допускает законы сохранения энергии

и импульса Воспользуемся неравенством Гёльдераа также очевидными неравенствами

объединяя к-рые, приходим к соотношению позволяющему получить оценку для энергии снизу:

Минимизируя правую часть в (18) по получаем неравенство означающее, что при фиксированном импульсе Р=I₂ минимум энергии реализуется на нек-рой стабильной солитонной конфигурации.

4. Пример применения прямого метода в кинетической теории плазменных солитонов. Рассмотрим эл--статич. приближение Власова - Пуассона в одномерном случае (D=1). Ур-ния для ф-ции распределения электронов f(t, x, u)и напряжённости электрич. поля в плазме E(t, х)в приближении тяжёлых ионов имеют вид (распределение ионов не зависит от времени)

С учётом граничных условий

в системе отсчёта, связанной с центром распределения электрич. поле исключается:

Пусть невозмущённое решение ур-ний (19) стационарно:

где -энергия электрона, m=sign u Т.к. f>0 , полагаем считая c₀ решением ур-ния

где D^{^}₀=-uд_x+E₀д_u При этом возмущение с учётом (20) и линеаризованного условия нормировки удобно представить в виде

считая, что j удовлетворяет линеаризованному ур-нию

где введены операторы

Из ур-ния (21) следует, что существует интеграл движения

В случае e= -1 функционал (22) положительно определён, что говорит об устойчивости монотонных по энергии w распределений - теорема Ньюкомба - Гарднера (классич. пример: распределение Максвелла - Больцмана . Покажем, что монотонные распределения глобально устойчивы, выбрав функционал Ляпунова

где l-множитель Лагранжа, G(f) - нек-рая вспомогательная ф-ция, определяемая из условия стационарности V₁. Из условия находимили, после дифференцирования по w, Т. о., V₁ - глобально выпуклый функционал. В частности, полагая убеждаемся, что d²V₁=2V>0

Однако если распределение f₀ немонотонно по энергии, то функционал (22) знакопеременный, что говорит о неустойчивости. В самом деле, для функционала Четаева

где F-решение вспомогат. ур-ния

найдём, что в области V<0. Т. о., немонотонные распределения неустойчивы по метрикам r₀, r, где

(Подробное изложение теории прямого метода Ляпунова и его приложений смотри в прилагаемом списке литературы.)

Лит.: Ляпунов А. М., Общая задача об устойчивости движения, 2 изд., Л.- М., 1935; Зубов В. И., Методы А. М. Ляпунова и их применение, Л., 1957; Мовчан А. А., Устойчивость процессов по двум метрикам, "Прикл. матем. и мех.", 1960, т. 24, в. 6, с. 988; Жидков Е. П., Кирчев И. П., Устойчивость решений вида уединенных волн некоторых нелинейных уравнений математической физики, "ЭЧАЯ", 1985, т. 16, в. 3, с. 597; Рыбаков Ю. П., Устой-чивость многомерных солитонов в киральных моделях и гравитации, в кн.: Итоги науки и техники, сер. Классическая теория поля и теория гравитации, т. 2, М., 1991, с. 56; Benjamin Т. В., Stability of solitary waves, "Proc. Roy. Soc.", 1972, v. 328A, p. 153; Makhan- kov V. G., Dynamics of classical solitons (in non-integrable systems), "Phys. Repts", 1978, v. 35, № 1, p. 1; Holm D. D. [a.o.], Nonlinear stability of fluid and plasma equilibrium, "Phys. Repts", 1985, v. 123, № 1 -2, p. l; Shatah J., Strauss W., Instability of nonlinear bound states, "Comm. Math. Phys.", 1985, v. 100, № 2, p. 173; Kuzne- tsov E. A., Rubenchik A. M., Zakharov V. E., Soliton stability in plasmas and hydrodynamics, "Phys. Repts", 1986, v. 142, № 3, p. 103; Grillakis M., Shatab J., Strauss W., Stability theory of solitary waves in the presence of symmetry. I, II, "J. Funct. Anal.", 1987, v. 74, № 1, p. 160; 1990, v. 94, № 2, p. 308. Ю. П. Рыбаков.

   <<      Предметный указатель      >>