фазовая траектория

Оператор Т^t удовлетворяет групповому свойству

и задаёт однопараметрич. группу преобразований фазового пространства на себя (параметром группы является время t). Группа преобразований фазового пространства, задаваемая оператором Т^t, наз. ф а з о в ы м п о т о к о м. Ф.т. являются орбитами этой группы. Фактически Ф. т. образуется в результате движения фазовой точки x(t)в фазовом пространстве под действием фазового потока. Кривая, начинающаяся в нек-рой нач. точке х⁰ и образованная по закону (1), является, вообще говоря, лишь частью Ф. т. Для получения полной Ф.т. необходимо максимально продолжить кривую (1) не только в область t>0, но и в область t<0.

Ф.т. могут представлять собой: 1) отдельные точки; 2) замкнутые кривые; 3) отрезки кривых конечной длины, заключённые между двумя точками (последние могут принадлежать или не принадлежать траектории); 4) кривые, неограниченные в одну или обе стороны. Траектории, яв- ляющиеся точками, наз. о с о б ы м и т о ч к а м и. Они от- вечают стационарным состояниям динамич. системы и яв- ляются неподвижными точками оператора Если Ф. т. целиком находится в конечной области фазового пространства, то говорят, что она отвечает ф и н и тн о м у д в и ж е н и ю системы. В противном случае траек-тория представляет и н ф и н и т н о е д в и ж е н и е.

Часто динамич. систему с конечномерным фазовым пространством задают с помощью автономной системы обыкновенных дифференц. ур-ний

где Если в нек-рой области фазового пространства ф-ции F_i(X)непрерывно дифференцируемы, то в этой области различные Ф.т не пересекаются (в силу теоремы единственности решения системы обыкновенных дифференц. ур-ний; см. Коши задача).

Если ф-ции F_i(x)в (2) недифференцируемы где-либо, то Ф.т. могут пересекаться. Напр., динамич. система, задаваемая ур-нием

имеет две траектории при

Первая отвечает стационарному состоянию, вторая - ин-финитному движению. Эти две Ф. т. пересекаются в точке x = 0. Неединственность решения обусловлена недифференцируемостью при х = 0 правой части ур-ния (3).

Время движения системы вдоль Ф. т., начинающегося с какой-либо нач. фазовой точки, может быть как бесконечным, так и конечным. Последнее имеет место, напр., в системе

Действительно, из (5) следует так что движение инфинитно, но время эволюции конечно при любых конечных значениях х⁰ и составляет

Пусть в фазовом пространстве динамич. системы имеются стационарная точкам к--л. траектории, идущие в эту точку. Пусть также система - гладкая в окрестности особой точки. Тогда время достижения этой точки вдоль любой траектории, не совпадающей с ней, бесконечно. Поэтому стационарные состояния отделены от прочих траекторий.

См. также Динамическая система, Фазовое пространство, Устойчивость движения, Статистическая физика.

Лит.: Арнольд В. И., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 3 изд., М., 1984. Н. А. Кириченко.

   <<      Предметный указатель      >>