фазовое пространство

ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО в т е о р и и д и н а м и ч е ск и х с и с т е м - абстрактное пространство, ассоциированное с конкретной динамич. системой, точки в к-ром однозначно характеризуют все возможные состояния данной системы. Предполагается, что это пространство снабжено естеств. определением меры (расстояний, площадей и т.д.).

Исторически понятие Ф. п. введено с целью более удобного, наглядного изучения поведения механич. систем. П р и м е р. Состояние системы из N материальных точек, движущихся в 3-мерном пространстве, полностью характеризуется заданием значений 3 N обобщённых координат

и 3N обобщённых импульсов

Ф.п. этой системы является 6N-мерное пространство, по координатным линиям к-pогo откладываются значения обобщённых координат и импульсов (q, р).

В случае динамич. системы произвольной природы Ф.п. определяется подобным образом. Именно, пусть состояние данной системы полностью характеризуется заданием п переменных, т. е. поведение системы описывается п обыкновенными дифференц. ур-ниями 1-го порядка

Тогда такой системе ставится в соответствие n-мерное Ф. п., по осям координат к-рого откладываются значения переменных х₁, х₂, ..., х_п, называемых ф а з о в ы м и п ер е м е н н ы м и. Определение нормы в этом пространстве вводится, исходя из смысла переменных х = (х₁, х₂, ..., x_n). Если Ф. п. 2-мерно (1-мерно), то о нём говорят как о фазовой плоскости (фазовой прямой). Напр., динамич. система, описываемая ур-нием

имеет 2-мерное Ф. п. (фазовую плоскость), по осям координат к-рого откладываются значения х и

Текущему состоянию системы отвечает нек-рый набор значений {x_i(t)} и, следовательно, нек-рая точка в Ф. п., называемая ф а з о в о й т о ч к о й. С течением времени значения фазовых переменных меняются. Соответственно фазовая точка перемещается, описывая в Ф. п. нек-рую кривую, называемую фазовой траекторией.

Эволюция динамич. системы определяется посредством задания значений фазовых переменных в нач. момент времени

и задания эволюционного оператора Т ^t преобразующего нач. состояние в состояние в момент времени t:

(Коши задача).

Тем самым в Ф. п. выделяется фазовая траектория, проходящая через точку x⁰. Оператор Т ^t задаёт однопарамет-рич. группу преобразований Ф. п. на себя (параметр - время t) и удовлетворяет групповому свойству Т ^tТ ^т=Т ^t+т . Труппа преобразований Ф. п., задаваемая оператором T^t наз. ф а з о в ы м п о т о к о м.

Если нач. точки не лежат на одной фазовой траектории, т. е. не могут быть получены одна из другой сдвигом с помощью оператора Т ^t за к--л. конечное время t, то они порождают разл. фазовые траектории. Совокупность всевозможных фазовых траекторий образует ф а з ов ы й п о р т р е т динамич. системы. Изучение фазовых портретов как способа геом. представления решений обыкновенных дифференц. ур-ний было начато А. Пуанкаре в 19 в.

Разл. фазовые траектории одной достаточно гладкой динамич. системы не пересекаются в Ф. п. (в противном случае, выбирая точку пересечения за нач. условие, мы получили бы, что из одной точки начинается более одной фазовой траектории; последнее противоречит теореме Коши). Фазовые траектории могут представлять собой либо отд. точки, либо замкнутые кривые, либо отрезки кривых конечной длины, заключённые между двумя точками (последние не принадлежат данной траектории), либо кривые, неограниченные в одну или обе стороны. Траектории, являющиеся точками, наз. о с об ым и т о ч к а м и и отвечают стационарным состояниям динамич. системы. Классификация структурных элементов фазового портрета выполнена в теории колебаний.

Во мн. случаях необходимо рассматривать зависимость свойств системы от к--л. параметров. Напр., вместо (1) нужно изучать систему, описываемую ур-нием

где

-совокупность физ. параметров. В случае нелинейного осциллятора

качественно разл. параметрами являются w и e. Все системы (4) (т. е. отвечающие разл. значениям a) можно рассматривать с помощью одного и того же Ф. п. Это позволяет сопоставлять свойства систем, отличающихся конкретными значениями параметров. Напр., может оказаться, что в нек-рых интервалах значений а для траекторий доступны не все области фазового пространства из числа тех, к-рые доступны при др. значениях. Так, для системы, описываемой ур-нием

при a >0 фазовым траекториям доступно всё фазовое пространство (при подходящем выборе нач. условий), тогда как при a<0 областьявляется "запрещённой".

При изменении параметров а в (4) могут происходить не только количеств. изменения (смещения траекторий, изменения скоростей), но и качеств. преобразования, при к-рых возникают новые структурные элементы фазового портрета или исчезают нек-рые из имеющихся, т. е. происходит перестройка структуры фазового портрета. Закономерности такой перестройки устанавливаются методами теорий бифуркаций и катастроф (см. также Катастроф теория).

Выберем в фазовом пространстве динамич. системы (1) нек-рую область W₀. Её объём равен

Область W₀ можно рассматривать как совокупность нач. точек нек-рого набора фазовых траекторий, т. е. нек-рую каплю "фазовой жидкости". Под действием фазового потока Т^t область W₀ переходит в область W_t с объёмом

Согласно теореме Лиувилля-Остроградского, для динамич. системы (1)

где

Отсюда следует, что если divF=0 то фазовый объём динамич. системы не меняется (Лиувилля теорема). Примером систем, сохраняющих фазовый объём, являются гамилътоновы системы, ур-ния движения к-рых имеют вид

где Н=Н(р, q)- ф-ция Гамильтона системы, q_i, p_i-обобщённые координаты и импульсы. Прямая подстановка (9) в (8) (п = 2т)показывает, что divF=0.

Для систем, сохраняющих фазовый объём, не могут существовать в Ф. п. такие структурные элементы, как аттракторы и репеллоры, поскольку наличие первых означало бы уменьшение, а вторых - увеличение фазового объёма. Это же означает, что в таких системах нет структурных элементов, обладающих свойством асимптотич. устойчивости при (либо аналогичным свойством при (см. Устойчивость движения).

В условиях сохранения фазового объёма форма фазовой капли может меняться как незначительно (устойчивое движение), так и сильно (неустойчивое движение)-см. рис Наличие неустойчивости может приводить к сложному в т. ч. стохастич., поведению системы.

Деформация "фазовой капли" в случае устойчивого ( а)и неустойчивого (б)движения 1 гамильтоновой системы (объём капли сохраняется).

Если физ. система составлена из большого числа частиц, то часто целесообразно использовать статистич. методы описания. Именно, вводится ф-ция распределения частиц f(q, p, t) в Ф. п., удовлетворяющая условию нормировки

Закон сохранения числа частиц в Ф. п. выражается ур-нием непрерывности

Здесь -вектор скорости тока "фазовой жидкости", . Для гамильтоновых систем условие сохранения фазового объёма divF=0 означает, согласно (9),

т. е. "фазовая жидкость" несжимаема. При этом ур-ние непрерывности (11) принимает вид

(ур-ние Лиувилля). Дальнейшее развитие этого подхода осуществлено в рамках статистической физики.

Из (7) следует, что при divF=const=-l

Такая ситуация реализуется, напр., в случае системы, описываемой ур-ниями Лоренца:

для к-рой l=1+s+b. Для всех неотрицательных s, r, b оказывается l>0 и фазовый объём всегда уменьшается.

При уменьшении фазового объёма траектории могут стремиться к нек-рой поверхности в исходном фазовом пространстве, имеющей размерность D = n - k, k-целое, В частном случае k = n это отвечает приближению к нек-рому стационарному состоянию - особой точке в Ф. п. В то же время известно, что и при может существовать предельное множество (аттрактор), мера к-рого имеет размерность d> 1 (как правило, дробную, т. н. ф р а к т а л ь н у ю р а з м е р н о с т ь). Такая ситуация реализуется, напр., когда Ф. п. содержит странный аттрактор. Объект с такими свойствами всегда содержится в системе Лоренца (15) при

Системы с конечномерным Ф. п. являются, как правило, идеализированным образом реальных физ. систем. Напр., при описании теплового, эл--магн. и др. полей, разл. рода взаимодействий и т. д. приходится иметь дело с характеристиками, заданными в пространстве: темп-рой Т (r, t), напряжённостью поля E( r, t) и др. Для этих характеристик также задаются нек-рые эволюц. ур-ния. Теперь, однако, Ф. п. такой динамич. системы является уже бесконечномерным. Иногда путём подходящего выбора базиса удаётся свести Ф. п. к счётномерному. Наконец, в ряде случаев с достаточной точностью можно описать поведение распределённой системы с помощью нек-рого конечного числа ф-ций времени. Тем самым исходное (бесконечномерное) Ф. п. редуцируется к Ф. п. конечной размерности [именно так получена система Лоренца (15), приближённо описывающая термоконвективные течения в слое жидкости]. Это отвечает выделению существенных переменных ("параметров порядка") и пренебрежению всеми прочими ("подчинёнными") переменными. По существу сходная процедура реализуется при численном интегрировании ур-ний в частных производных.

См. также Стохастические колебания, Динамическая система, Фракталы.

Лит.: Арнольд В. И., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 3 изд., М., 1984; его же, Математические методы классической механики, 3 изд., М., 1989; Рабинович М. И., Трубец-ков Д. И., Введение в теорию колебаний и волн, 2 изд., М., 1992; Хакен Г., Синергетика. Иерархии неустойчивостей в самоорганизующихся системах и устройствах, пер. с англ., М., 1985; Заславский Г. М., Сагдеев Р. 3., Введение в нелинейную физику, М., 1988. Н. А. Кириченко.

   <<      Предметный указатель      >>