фёйнмана диаграммы

ФЁЙНМАНА ДИАГРАММЫ -наглядный и эфф. способ описания взаимодействия в квантовой теории поля (КТП). Метод предложен Р. Фейнманом (R. Feynman) в 1949 для построения амплитуд рассеяния и взаимного превращения элементарных частиц (см. Амплитуда рассеяния, Амплитуда процесса)в рамках теории возмущений (см. Возмущений теория ),когда из полного (эффективного) лагранжиана системы полей выделяется невозмущённая часть (свободный лагранжиан) квадратичная по полям, а оставшаяся часть (лагранжиан взаимодействия)трактуется как возмущение.

Составными элементами Ф. д. являются вершины, внутренние и внешние линии. Каждая из линий подсоединяется к каким-нибудь вершинам: внутренняя к двум, а внешняя к одной. Набор вершин определяется структурой а внешних и внутренних линий-структурой . Каждому моному по полям, в соответствует определ. тип вершин, а каждому виду поля в -определ. тип линий. Если поле нейтральной (соответствующая частица совпадает со своей античастицей, см. Истинно нейтральные частицы ),то линия считается ненаправленной, в противном случае линия направленная и на диаграмме снабжается стрелкой.

Существуют т. н. правила Фейнмана (ПФ, см. ниже), к-рые сопоставляют каждому элементу Ф. д. определ. матем. объекты (величины и операции), так что по Ф. д. можно однозначно построить аналитическое выражение, дающее вклад в амплитуду рассеяния квантованных полей. Вместе с тем Ф. д. позволяет такому вкладу дать наглядную классич. интерпретацию в виде ряда последовательных локальных превращений частиц. Каждому отд. превращению соответствует вершина, внутр. линиям - распространение промежуточной частицы от одного акта превращения до другого (пропагатор частицы), внеш. линиям-волновые ф-ции начальных и конечных частиц, участвующих в процессе.

В качестве примера рассмотрим Ф. д. в квантовой электродинамике (КЭД), к-рая описывает взаимодействие электронов, позитронов и фотонов между собой. В КЭД имеются всего один тип вершин (рис. 1) и два типа линий (рис. 2). Ненаправленная волнистая линия относится к фотону, а направленная прямая - к электрону и позитрону.

В последнем случае распространению осн. частицы (электрона) соответствует движение вдоль линии по направлению стрелки, а распространению античастицы (позитрона)-движение против стрелки.

Каждая Ф. д. имеет неск. интерпретаций в зависимости от направления движения вдоль линий этой диаграммы. Так, для Ф. д., изображённой на рис. 3, допустимы следующие варианты. Первый-движение по линиям слева направо- рассеяние фотона на электроне (Комптона эффект). В вершине 1 нач. электрон поглощает нач. фотон, при этом образуется промежуточный электрон, к-рый распространяется от вершины 1 к вершине 2. Здесь он излучает конечный фотон и превращается в конечный электрон. Результатом процесса является перераспределение 4-им-пульса (энергии и импульса) между электроном и фотоном. Второй вариант - движение по линиям справа налево- рассеяние фотона на позитроне. Третий вариант - движение снизу вверх - аннигиляция электрона и позитрона с превращением их в два фотона. Четвёртый вариант- движение сверху вниз - рождение электрон-пози-тронной пары при столкновении двух фотонов.

Согласно ПФ, в каждой вершине взаимопревращение частиц происходит с интенсивностью, пропорц. нек-рой константе связи (константе взаимодействия), и с соблюдением закона сохранения 4-импульса. Вместе с тем релятивистское соотношение между энергией и импульсом (т. н.

массовая поверхность) (-энергия, Р-обычный трёхмерный импульс, т-масса) выполняется только для начальных и конечных частиц, описываемых внеш. линиями (реальные частицы). Это соотношение нарушается для промежуточных частиц, описываемых внутр. линиями, в связи с чем они наз. виртуальными частицами. Для них и Р могут независимо принимать значения от Поле может быть как однокомпонентным, так и многокомпонентным. В КЭД и фотонное (векторное эл--магн.) поле, и электрон-позитронное (спинорное) поле имеют по четыре компоненты. Каждая линия в Ф. д. описывает сразу всю совокупность компонент соответствующего поля. В суперсимметричных моделях (см. Суперсимметрия)линия в Ф. д. описывает распространение целого мульти-плета элементарных частиц, к-рые соответствуют разным компонентам одного суперполя.

Тип физ. процесса определяется только теми частицами, к-рые имеются на входе и выходе этого процесса. Поэтому все Ф. д. с одним и тем же набором внеш. линий вне зависимости от своей внутр. структуры соответствуют одному и тому же физ. процессу. Каждая из таких диаграмм вносит аддитивный вклад в амплитуду процесса. Так, помимо диаграммы, изображённой на рис. 3, эффекту Комптона соответствуют, напр., диаграммы, приведённые на рис. 4.

Отличит. чертой этих диаграмм является наличие в них замкнутых циклов (петель), состоящих из внутр. линий. Диаграммы типа рис. 4,а наз. о д н о п е т л е в ы м и, а типа рис. 4,б и рис. 4,в-д в у х п е т л е в ы м и. Беспетлевые диаграммы типа рис. 3 наз. д р е в е с н ы м и. Из всех диаграмм, соответствующих данному физ. процессу, древесные диаграммы имеют наименьшее число вершин. Поэтому в теории возмущений, в к-рой роль малого параметра играет константа связи, древесные диаграммы вносят осн. вклад, а диаграммы с петлями описывают радиационные поправки.

Помимо разложения всех величин в ряд теории возмущений по константе связи используется разложение в ряд по константе Планка h. Оказывается, что вклад Ф. д. пропорционаленв степени п, где п-число петель в данной диаграмме. Поэтому в классич. пределе вклад дают только древесные диаграммы.

Кроме амплитуд рассеяния Ф. д. используются для описания Грина функций (в КТП). В обоих случаях структуры диаграмм очень схожи, что отражает тесную связь между ф-циями Грина и амплитудами рассеяния. Существенным отличием является лишь то, что для ф-ций Грина внеш. линиям соответствует распространение виртуальных частиц (вне массовой поверхности).

Согласно ПФ, каждой петле в Ф. д. отвечает интегрирование по 4-импульсу, к-рый может циркулировать в данной петле, не нарушая законов сохранения в вершинах. Нек-рые из этих интегралов расходятся за счёт бесконечного объёма интегрирования (ультрафиолетовые расходимости). Существует последовательный метод, называемый процедурой регуляризации и перенормировки, к-рый позволяет избавиться от этих расходимостей. В этом методе формулируются правила, по к-рым нек-рым внутр. блокам (обобщённым вершинам, см. ниже) в Ф. д. ставятся в соответствие определ. матем. операции. С их помощью удаётся скомпенсировать УФ-расходимости (см. Регуляризация расходимостей, Перенормировки).

В выделении обобщённых вершин, используемых в процедуре перенормировок, существенную роль играет следующая классификация Ф. д. Диаграмма наз. с в я з н о й, если из любой её вершины можно попасть в любую другую, перемещаясь по внутр. линиям. В противном случае диаграмма наз. н е с в я з н о й. Диаграмма наз. с и л ь н о с в я з н о й или о д н о ч а с т и ч н о н е п р и в о д и м о й, если она остаётся связной после разрыва любой одной внутр. линии. Разл. совокупности вершин и внутр. линий диаграммы наз. её поддиаграммами. Они имеют ту же классификацию, что и диаграммы. О б о б щ ё н н ы е в е р ш ин ы- это сильно связные поддиаграммы, к-рые подсоединяются к др. частям диаграммы так же, как обычные вершины или внутр. линии. В КЭД три типа обобщённых вершин: собственная энергия электрона (подсоединяется двумя электрон-позитронными линиями), собственная энергия фотона или поляризация вакуума (подсоединяется двумя фотонными линиями), треугольная вершина (подсоединяется двумя электрон-позитронными линиями и одной фотонной).

Специфические особенности имеет диаграммная техника для моделей с неабелевыми калибровочными полями. Это связано с тем, что для их последовательной релятивистски инвариантной формулировки приходится рассматривать помимо физ. компонент калибровочных полей и нефизические. Оказывается, что лишний вклад в наблюдаемые величины от нефиз. компонент можно скомпенсировать вкладом нек-рых "духовых" полей (см. Фаддеева-Попова духи), имеющих неправильную связь спина со статистикой. Соответственно этому помимо диаграмм, описывающих распространение и взаимодействие материальных и калибровочных полей, приходится рассматривать диаграммы, в к-рых фигурируют "духовые" поля. Так, в квантовой хромодинамике помимо вершин, описывающих взаимодействие материальных полей (кварков) с калибровочными полями (глюонами) и глюонов между собой (рис. 5, а и рис. 5, б, 5, в), приходится вводить вершины, описывающие взаимодействие глюонов с "духами" (рис. 5, г).

Поскольку для физ. процессов ни в начальном, ни в конечном состоянии "духи" присутствовать не могут, то вклад в амплитуду таких процессов дают только диаграммы, в к-рых нет внеш. "духовых" линий. Однако при рассмотрении выражений, не зависящих от поляризации начальных и (или) конечных калибровочных полей, иногда технически более удобно суммировать по всем компонентам этих полей, а не только по физическим. В этом случае вклад нефиз. компонент может быть скомпенсирован вкладом от диаграмм, в к-рых в начальном и (или) конечном состоянии "духи" присутствуют.

Ф. д. широко используются для анализа аналитических свойств амплитуд рассеяния, в частности для исследования их особенностей (сингулярностей). Иногда это позволяет из всей совокупности диаграмм, отвечающих данному процессу, выделить нек-рую подсовокупность, к-рая вносит осн. вклад.

Метод Ф. д. успешно применяется также в квантовой теории многих частиц, в частности для описания конденсированных тел и ядерных реакций.

Лит.: Фейнман Р., Теория фундаментальных процессов, пер. с англ., М., 1978; Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Квантовые поля, 2 изд., М., 1993; Ициксон К., Зюбер Ж--Б., Квантовая теория поля, пер. с англ., т. 1-2, М., 1984. Д. А. Славное.

Правила Фейнмана в к в а н т о в о й т е о р и и п о л я - правила соответствия между вкладами определ. порядка теории возмущений в матричные элементы матрицы рассеяния и Ф. д. Регулярный вывод ПФ основан на применении Вика теоремы для хронологических произведений к хронологическим произведениям полевых операторов, через интегралы от к-рых выражаются вклады в матрицу рассеяния. В ПФ центр. роль играют пропагаторы квантовых полей, равные их хронологическим спариваниям, т. е. вакуумным ожиданиям от парных хронологических произведений.

к-рые также равны причинным ф-циям Грина этих полей:

Наряду с пропагаторами iD(x-y), к-рым в Ф. д. соответствуют линии, соединяющие точки x и у, и к-рые полностью характеризуют взаимодействующие поля, ПФ включают элементы, описывающие механизм взаимодействия и отражающие структуру лагранжиана взаимодействия рассматриваемой квантовополевой модели.

Существуют две разновидности ПФ: правила в координатном представлении, на основе к-рых можно сопоставить диаграммы вкладам в S-матрицу, выраженным через операторные полевые ф-ции; более полезными оказываются ПФ в импульсном представлении, к-рые служат непосредственно для построения матричных элементов переходов между физ. состояниями, характеризуемыми наряду с прочими квантовыми числами значениями 4-импульсов частиц. В дальнейшем термином "ПФ" будем называть именно правила Фейнмана в импульсном представлении.

В этом представлении вместо выражений (1), (2) используют их фурье-образы D_a(p), к-рым на Ф. д. соответствуют внутр. линии, по к-рым как бы движутся частицы с импульсом р. Места встречи линий - вершины - описывают взаимодействия частиц. Поэтому, согласно ПФ, вершинам отвечают множители в матричных элементах, передающие структуру лагранжианов взаимодеиствия. В качестве иллюстрации в табл. приведены правила соответствия для квантовой электродинамики в диагональной (иначе фейнмановекой) калибровке эл--магн. поля. Полный набор ПФ состоит из правил соответствия, приведённых в табл., и следующих общих правил: (7) для построения вклада n-го порядка по е в матричный элемент заданного процесса следует нарисовать все диа-граммы, содержащие ровно п вершин, соединяющие их внутр. линии и заданный набор внеш. линий, определяемый суммарно начальным и конечным состоянием рассматрива-емого процесса. При этом следует иметь в виду, что направ-ления, указанные стрелками на электронных линиях, отвеча-ют движению позитрона против направления стрелок; (8) каждой из этих диаграмм по правилам соответствия из табл. путём перемножения факторов из правой колонки, упорядоченных по движению вдоль электронных линий, ставится в соответствие выражение, к-рое затем должно быть проинтегрировано по 4-импульсам и просуммировано по всем индексам всех внутр. линий; (9) если в диаграмме имеется l замкнутых электронных петель, то всё выражение должно быть умножено на (- 1)^l; (10) если в диаграмме имеется топологическая симметрия k-гo порядка, т. е. можно переставить k вершин, не изменив топологию диаграммы, то следует добавить множитель (k!)^-1; (11) если в начальном иЛи конечном состоянии имеются тождественные бозе-(ферми-) частицы, то следует провести соответствующую (анти)симметризацию.

Правила Фейнмана для квантовой электродинамики

Выражение, стоящее в строке (1) правил соответствия, отвечает структуре лагранжиана взаимодействия за исключением множителя i, к-рый учитывает тот факт, что вклад п-го порядка в S-матрицу содержит множитель iⁿ:

Две следующие строчки содержат пропагаторы полей, а затем в правилах соответствия фигурируют вектор поляризации фотона e^a(k) и неквантованные дираковские спиноры u(p), u(p), являющиеся решениями свободного Дирака уравнения и отвечающие электронам (и/или позитронам) в начальном и конечном состояниях.

Рис.6.

Пользуясь приведёнными ПФ, получим матричный элемент процесса(т. е. мёллеровского рассеяния электронов) в низшем, втором по е, порядке теории возмущений. Единств. диаграммой оказывается диаграмма, приведённая на рис. 6. Используя введённые на этом рисунке импульсные обозначения, положим, что импульсы электронов в нач. состоянии равны р₁ и р₂, а электроны конечного состояния обладают импульсами -q_l, -q₂ (при этом, разумеется, Используя правила (1), (2), (5), (6) и (8), находим:

Согласно правилу (11), это выражение следует ещё анти-симметризовать по электронам начального и конечного состояний.

Из релятивистской квантовой теории поля метод Ф. д. и ПФ непосредственно переносится в квантовую статистику при нулевой темп-ре и без труда формулируется для теории возмущений при конечной темп-ре.

Лит.: Feynman R. P., Space-time approach to quantum electro-city, "Phys. Rev.", 1949, v. 76, p. 769; Фейнман Р., Квантовая электродинамика, пер. с англ., М., 1964; Биленький С. М., Введение в диаграммную технику Фейнмана, М., 1971; Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Квантовые поля, 2 изд., М., 1993.

Д. В. Ширков.

   <<      Предметный указатель      >>