ферми-газ

ФЕРМИ-ГАЗ -газ из частиц с полуцелым (в единицах h) спином, подчиняющихся квантовой Ферми - Дирака статистике. Ф--г. из невзаимодействующих частиц наз. идеальным, а в отсутствие внеш. полей-свободным. К Ф--г. относятся: электроны в металлах и полупроводниках, газы из атомов с нечётным числом нуклонов (напр., ³Не); электроны в атомах с большими атомными номерами, изучаемые в Томаса - Ферми теории; нуклоны в тяжёлых сильно возбуждённых ядрах, описываемые в рамках статистической модели ядра; элементарные возбуждения электронов, взаимодействующих с фононами в кристаллич. решётке, и т. д. (см. также Ферми-жидкость).

Термодинамич. свойства Ф--г. определяются большим канонич. распределением Гиббса:

где E_i,N - энергия системы N ферми-частиц в квантовом состоянии i; m - хим. потенциал; Т-темп-ра; V-объём системы; W (Т, m, V)-термодинамич. потенциал в переменных Т, m, V, определяющий энтропию и ср. число частиц

Для идеального квантового газа. E_i,N=e_in_i, где e_i- энергия частицы в квантовом состоянии i; для Ф--г. числа заполнения n_i = l или 0 (для Бозе-газа n_i=0, 1, 2...), тогда

Для свободного идеального газа нерелятивистских частиц e=p²/2m, и после перехода от суммирования к интегрированию по непрерывному спектру получим

где g-фактор вырождения (g = 2 для частиц со спином 1/2); -ср. энергия Ф--г. Ф-ла (4) вместе с выражением для ср. плотности частиц

определяет ур-ние состояния для идеального Ф--г. в пара метрич. виде как ф-цию от exp(-m/kT) (т. н. активность см. Фугитивность).

При Т=0 К идеальный Ф--г. находится в осн. состоя-нии, его частицы заполняют все квантовые уровни вплоть до зависящей от плотности фермы-энергии

, а все уровни вышесвободны.

Энергии Ферми E_F соответствует предельный, или гранич-ный, ферми-импульс p_F, а также вырождения температура ниже к-рой у Ф--г. начинают су-щественно проявляться квантовые свойства.

В неидеальном Ф--г., как и в идеальном, граничный импульс Ферми p_F соответствует скачку на ферми-поверх-ности в ф-ции распределения ферми-частиц по импульсам Импульс p_F разделяет элементарные возбуждения типа электрона вне сферы Ферми и "дырки" внутри её. Вели чина скачка уменьшается вследствие взаимодействия меж ду частицами, но его положение не меняется. Притяжение может существенно изменить ф-цию распределения эле-ментарных возбуждений благодаря возникновению связан-ных состояний, напрю коррелированных пар электронов при фазовом переходе металла в сверхпроводящее состоя-ние (см. Купера эффект).

Ф--г. заряж. частиц, напр. электронов, между к-рыми действуют кулоновские силы отталкивания, с возрастани-ем плотности становится всё более идеальным, т. к. при этом кинетич. энергия растёт быстрее, чем кулоновская.

Спектр элементарных возбуждений для неидеального Ф--г. (в реальных моделях), в отличие от идеального, обладает конечным затуханием, к-рое стремится к нулю на поверхности Ферми пропорционально (р-р_F)²/р_F²

Неидеальные Ф--г. кроме элементарных возбуждений фермиевского типа могут иметь возбуждения бозевского типа, к-рым соответствуют согласованные, коллективные движения частиц, напр. звуковые или плазменные колебания (см. Коллективные переменные).

В качестве примера теории неидеального Ф--г. рассмот-рим явление сверхпроводимости на основе Бардина - Ку-пера-Шриффера модели (БКШ модели).В сверхпроводнике электроны с противоположно направленными спинами и импульсами вблизи поверхности Ферми испытывают притяжение вследствие квантового обмена фононами. Если величина этого притяжения больше, чем влияние кулоновского отталкивания между электронами (уменьшенного вследствие эффекта экранирования), то возможно образование коррелированных пар электронов с противоположно направленными импульсами и спинами (т. н. куперовских пар), что является причиной перехода металла в сверхпроводящее состояние.

Этот эффект можно учесть, если заменить взаимодействие электронов с фононным полем на прямое взаимодействие между электронами с противоположно направленными импульсами и спинами (модель БКШ) исходя из гамильтониана

где f=(k, s), -f=(-k,-s) (s - спиновый индекс, прини-мающий два значения ³/₂ и - ³/₂ ; k-импульс электрона); -химю потенциал); a⁺_f, a_f-операторы, удовлетворяющие фермиевским перестановочным соотношениям. Ф-ции J_{f f '} вещественны и обладают свойством

Если в качестве нулевого приближения выбрать гамильтониан невзаимодействующих частиц, как это делается в обычной теории возмущений, то оператор взаимодействия даёт при асимптотически малый вклад (в пределе равный нулю) во всех приближениях термодинамической теории возмущений. Это позволяет ещё более упростить гамильтониан (6), представив его в виде где

скобки <...> означают усреднение по большому канонич. распределению Гиббса с гамильтонианом , в к-ром уже содержится взаимодействие между коррелированными парами электронов. Оператор является квадратичной формой относительно операторов , , поэтому его можно привести к диагональному виду посредством Боголюбова канонических преобразований:

где u_f, u_f-действительные ф-ции, связь между к-рыми рледует из перестановочных соотношений. Тогда получим

Ф-ция C_f определяет энергетич. щель в спектре элементарных возбуждений и удовлетворяет интегральному ур-нию

гдр Т-темп-pa в энергетич. единицах. Зависимость от спинов можно исключить, положив . Это ур-ние имеет нетривиальное решение при темп-рах ниже критической, при к-рой происходит фазовый переход металла в сверхпроводящее состояние. Нормальному состоянию соответствует тривиальное решение С_f = 0. При темп-ре ниже критической устойчиво сверхпроводящее состояние, а при темп-ре выше критической - нормальное состояние.

Элементарные возбуждения сверхпроводящего состояния образуют идеальный Ф--г. со спектром

и с ф-цией распределения

Интегральное ур-ние (7) можно упростить, положив его ядро постоянным и равным / в слое шириной (w_D порядка дебаевской частоты колебаний решётки) и равным нулю вне этого слоя. Тогда энергетич. спектр (8) при темп-ре ниже критической, когда имеет щель на поверхности Ферми, равную

где -безразмерная константа взаимодействия; (dn/dE)₀-плотность состояний электронов на поверхности Ферми. При темп-ре выше критической С_f=0 и спектр соответствует идеальному Ф--г.

Осн. методом исследования квантовых ферми- и бозе-газов служит метод Грина функций.

Лит.: 3убарев Д. Н., Двухвременные функции Грина в статистической физике, "УФН", 1960, т. 71, с. 71; Абрикосов А. А., Горьков Л. П., Дзялошинский И. Е., Методы квантовой теории поля в статистической физике, М., 1962; Таулес Д., Квантовая механика систем многих частиц, 2 изд., пер. с англ., М., 1975; Марч Н., Янг У., Сампантхар С., Проблема многих тел в квантовой механике, пер. с англ., М., 1969; Реймс С., Теория многоэлектронных систем, пер. с англ., М., 1976; Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П., Статистическая физика, ч. 2. Теория конденсированного состояния, М., 1978; Боголюбов Н. Н., Избранные труды по статистической физике, М., 1979, с. 132, 337; Ма-han G. D., Many-Particle physics, N. Y.-L., 1981. Д. Н. Зубарев.

   <<      Предметный указатель      >>