функция распределения

ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ -ф-ция для описания распределения вероятностей значений случайной величины. Для всех возможных значений х (<х<)случайной величины x Ф. р.

где Р{x<=х}-вероятность события x<=х. Ф. p. F_x(x) монотонно не убывает, она непрерывна справа: F_x(x + 0) = =, и имеет пределы =1. Если x, дискретна, то Ф. р. является ступенчатой, увеличиваясь скачкообразно в каждой точке x_k на величину P(x = x_k ). В случае непрерывной случайной величины x вероятность каждого возможного значения х равна Р(x = х)и Ф. р. становится непрерывной. Если она ещё и дифференцируема, то вводится P(x) = dF(x)/dx - плотность распределения вероятности, называемая также п л о т н о с т ь ю в е р о я т н о с т и или д и ф ф е р е н ц и а л ь н о й Ф. р. Индекс x часто опускают.

В более общем случае Ф. р. задаётся не на прямой х, а на множестве значений x₁, ..., x_N случайных величин x₁, ..., x_N с учётом явной зависимости Ф. р. от времени.

В физике под Ф. р. обычно понимают плотность распределения вероятностей. Ф. р. в этом смысле-осн. понятие статистич. физики.

Ф. р. в статистической физике характеризует плотности распределения вероятностей частиц статистич. системы по фазовому пространству (т. е. по координатам q и импульсам р)в классич. статистич. физике или по квантовомеха-нич. состояниям в квантовой статистике.

В классич. статистич. физике Ф. р. f(p, q, t)определяет вероятность dw=f(p, q, t)dpdq обнаружить систему из N частиц в момент времени t в элементе фазового объёма dpdq = dp₁dq₁. ..dp_ndq_n вблизи точки p₁q₁, ..., p_nq_n (сокращённо обозначенной через р, q), где n =3N-число степеней свободы системы. Учитывая, что перестановка тождественных (одинаковых) частиц не меняет состояния, следует уменьшить фазовый объём в N! раз. Кроме того, удобно перейти к безразмерному элементу фазового объёма, заменив dpdq на dpdq/N!h^3N, где h определяет, согласно квантовой механике, мин. размер ячейки в фазовом пространстве (т. е. h^3N является мин. объёмом ячейки в фазовом пространстве системы из N частиц). Тогда интеграл от нормированной Ф. р. по всему фазовому пространству будет равен единице:

(См. также раздел Функция распределения в ст. Статистическая физика.)

Лит.: Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей, 3 изд., М., 1987. А. Г. Башкиров, Д. Н. Зубарев.

Ф. р. частиц плазмы удовлетворяют кинетическому уравнению для плазмы, в к-ром столкновения между заряж. частицами часто не учитываются явно, а лишь через создаваемое ими самосогласованное поле. Парные столкновения для нерелятивистской классич. (невырожденной) плазмы учитываются с помощью интеграла столкновений в форме Ландау или Балеску-Ленарда. Ф. р. частиц плазмы f полностью определяет диэлектрич. проницаемость плазмы, а значит, её колебат. и волновые свойства, устойчивость, степень неравновесности системы и т. п. Так, для равновесной (максвелловской) Ф. р. заряж. частиц существует бесстолкновительная диссипация энергии электрич. поля волны в плазме - Ландау затухание.

Причиной затухания Ландау являются те заряж. частицы, скорость к-рых u в направлении распространения волны совпадает с её фазовой скоростью u_ф. По отношению к таким заряж. частицам поле волны стационарно, поэтому оно может производить над заряж. частицами работу, не равную нулю при усреднении по времени. Однако в связи с обратимым характером бесстолкновительной диссипации термодинамич. условия не требуют положительности диссипируемой энергии Q. Она всегда положительна для изотропной Ф. р., а для анизотропных ф-ций может оказаться отрицат. величиной - заряж. частицы будут в ср. отдавать энергию волне, что может привести к возникновению неустойчивостей плазмы.

Характерным примером неустойчивого состояния плазмы является невозмущённое состояние заряж. частиц, описываемое Ф. р. в виде суммы Максвелла распределения и дополнительного направленного пучка заряж. частиц, в такой системе будет наблюдаться пучковая неустойчивость.

Обратное воздействие возбуждаемых при неустойчивости колебаний на резонансные частицы приводит к релаксации исходной неравновесной Ф. р. частиц плазмы, так что система возвращается на порог устойчивости (см. Квазилинейная теория плазмы).

В двухкомпонентной полностью ионизованной равновесной плазме (у к-рой Ф. р. электронов и ионов максвел-ловские) незатухающие ионно-звуковые колебания существуют лишь при превышении электронной темп-ры над ионной.

Индуцированное рассеяние волн на частицах плазмы сопровождается увеличением частоты и волнового числа волны в случае, если Ф. р. частиц плазмы имеет положит. производную по скорости (дf/дu>0), и уменьшением для максвелловской Ф. р. частиц плазмы (дf/дu<0).

В. И. Карась.

   <<      Предметный указатель      >>