фурье-оптика

ФУРЬЕ-ОПТИКА -раздел оптики, в к-ром преобразование световых полей оптич. системами исследуется с помощью фурье-анализа (спектрального разложения) и теории линейной фильтрации. Начало использования в оптике идей спектрального разложения связано с именами Дж. Рэлея (J. Rayleigh) и Э. Аббе (Е. Abbe). Первые работы, к-рые легли в основу совр. Ф--о., принадлежат Мандельштаму [1], Горелику [2], Рытову [3]. В последней проводится аналогия между задачами радиоэлектроники и теории связи, с одной стороны (в к-рых речь идёт о преобразовании сигналов-ф-ций времени-изменяющихся токов, напряжений и т. д. и о системах радиоэлектроники, регистрирующих эти преобразования), и задачами оптики- с другой, в к-рых рассматривается преобразование световых полей-ф-ций координат-оптич. системами.

Общность методов исследования систем, служащих для преобразования сигналов - ф-ций времени (временных фильтров), и оптич. систем, служащих для преобразования световых полей - ф-ций координат (пространств. фильтров), обусловлена общностью закономерностей, управляющих процессами в системах радиоэлектроники и оптики, общностью, заложенной в универсальности максвеллов-ских ур-ний электродинамики. И тем и другим системам присущи (в достаточно широкой области применений) такие фундаментальные свойства, как линейность и инвариантность. Это позволяет удобно и просто описывать их поведение единым образом, используя универсальный аппарат теории линейной фильтрации и преобразования Фурье.

Основные понятия и соотношения Ф--о. В радиоэлектронике систему, преобразующую сигналы, принято изображать в виде схемы (рис. 1, а), где внеш. воздействие f(t) есть входной сигнал фильтра, а результат этого воздействия g(t) - выходной сигнал (или отклик) фильтра. Примером временного фильтра является колебат. контур (рис. 1, б), в к-ром внеш. эдс - входной сигнал, а возникающие изменения напряжения на обкладках конденсатора- отклик фильтра. Тот факт, что ф-ция g(t)является откликом на входное воздействие f(t), записывают в виде операторного равенства

Волновые (в частности, оптические) явления характеризуются как временной зависимостью, так и пространственной, т. е. зависимостью от координат. В Ф--о. интерес представляет именно пространств. структура волны, к-рая описывается (в случае гармонич. волн фиксированной частоты w) комплексной амплитудой волны f(x, у, z), являющейся решением ур-ния Гельмгольца:

(k = w/c- волновое число). [Комплексная амплитуда, определяющая распределение амплитуд и фаз колебаний является входным и выходным сигналом когерентной оптич. системы. При некогерентном освещении говорят о картинах интенсивности (а не об амплитудах) во входной и выходной плоскостях.]

В процессе распространения волны через оптич. систему её пространств. структура изменяется. Такая система рассматривается как пространственный фильтр, преобразующий входной сигнал (комплексную амплитуду волны во входной плоскости оптич. системы) в выходной сигнал (комплексную амплитуду волны в выходной плоскости оптич. системы). На рис. 2 представлена схема пространств. фильтра (а)и пример простейшей оптич. системы (б), где f(x, у) - комплексная амплитуда волны во входной плоскости П₀, g(x, у) - комплексная амплитуда в выходной плоскости П₁. Соответствующее операторное равенство имеет вид

В радиоэлектронике свойства линейного фильтра характеризуются импульсным откликом h(t, t) - откликом фильтра на входной d-импульс:

Здесь h(t, t) - ф-ция времени t, параметр t указывает, что речь идёт об отклике на d-импульс, возникающий на входе в момент времени t = t.

Аналогом d-импульса, возбуждающего колебания в линейном фильтре, в задачах пространств. фильтрации является точечный источник света d(x -x, у - h), расположенный в точке x = x, у = h входной плоскости ху. При этом в выходной плоскости возникает нек-рое световое поле с комплексной амплитудой h(x, у; x, h), являющейся ф-цией координат х, у в выходной плоскости. Поле h(x, у; x, h) наз. ф у н к ц и е й р а с с е я н и я т о ч к и и является аналогом импульсного отклика линейного временного фильтра.

Временные фильтры подчиняются принципу причинности: сигнал на выходе фильтра не может появиться раньше входного сигнала, импульсный отклик h(t, t) отличен от нуля лишь при t>=t. Различие в физ. смысле переменных (времени t и координат х, у)приводит к важному различию временных и пространств. фильтров: принцип причинности в задачах пространств. фильтрации не выполняется: точечный источник света, расположенный в начале координат х = 0, у = 0 входной плоскости, приводит к возникновению светового поля в выходной плоскости как при х,у>0, так и при х,у<0.

Если изменение момента появления d-импульса на входе не меняет вид ф-ции импульсного отклика, а лишь сдвигает её во времени h(t, t) = h(t - t), то временной фильтр наз. с т а ц и о н а р н ы м. Примером является колебат. контур с постоянными, не зависящими от времени параметрами L, С, R.

Аналогичное свойство пространств. фильтра наз. и з о-п л а н а т и ч н о с т ь ю: сдвиг точечного источника во входной плоскости приводит лишь к сдвигу ф-ции рассеяния в выходной плоскости:

Как правило, изопланатичность оптич. систем выполняется лишь при малых значениях параметров x, h. Стационарный временной фильтр, а также изопланатичный пространств. фильтр наз. и н в а р и а н т н ы м и ф и л ь т р а м и.

Если известен импульсный отклик временного линейного фильтра, то задача фильтрации (нахождение отклика по заданному входному сигналу) решается с помощью интеграла суперпозиции:

Аналогично решается задача пространственной фильтрации- нахождение комплексной амплитуды волны в выходной плоскости по заданному полю во входной плоскости:

Если речь идёт об инвариантных фильтрах, то вместо (2) и (3) имеем

Интегральная операция в (4) или (5)наз. свёрткой функций f(t) и h(t)в (4) или д в у м е р н о й свёрткой ф-ций f(x, у)и п(х, у)в (5). Символически операции свёртки (4) и (5) записываются в виде

Инвариантность линейных фильтров позволяет перейти к спектральному описанию. Используя известную теорему фурье-анализа о фурье-образе свёртки, связь между спектрами (фурье-преобразованиями) входного и выходного сигналов можно записать в виде

где -частотная характеристика временного фильтра, а Н(и, u) - частотная характеристика пространств. фильтра, являющаяся фурье-преобразова-нием ф-ции рассеяния точки:

Одно из важнейших преимуществ спектрального подхода- простота операции, связывающей спектры сигналов на входе и выходе фильтра. Представление сигнала f(t) в виде интеграла Фурье

имеет ясный физ. смысл: равенство (9) утверждает, что сигнал f(t)может быть представлен суммой гармонич. колебаний, причём спектр F(w) = A(w)ехр ij(w) определяет вклады гармоник разл. частот - их амплитуды A(w) и нач. фазы j(w).

Гармонич. колебания ехр iwt имеют особое значение в задачах линейной фильтрации: при возбуждении ими линейного стационарного фильтра в последнем возникают вынужденные гармонич. колебания той же частоты w. Др. словами, гармонич. ф-ции ехр iwt являются собств. ф-ци-ями линейной стационарной системы. Это можно записать в виде операторного равенства

где H(w) = В(w)ехр ia(w)-частотная характеристика фильтра, определяющая амплитуду В (w) и сдвиг по фазе a(w) вынужденных колебаний относительно внеш. воздействия.

Пространственное фурье-разложение. Комплексную амплитуду волны f(х, у)можно представить в виде интеграла Фурье [двумерный аналог ф-лы (9)]:

Физ. смысл разложения (11) состоит в следующем. Можно проверить, что ф-ция

является решением ур-ния Гельмгольца (1), удовлетворяющего на плоскости z = 0 граничному условию

Это утверждение справедливо при любых значениях параметров и, u. Ф-ция (12) есть комплексная амплитуда плоской волны, причём параметры и, u - проекции волнового вектора k этой волны на оси х, у, если |u² + u²|<= <=(w/c)² = k². Если же |u² + u²|>k², выражение (12) также является решением (1) и наз. н е о д н о р о д н о й в о л н о й (амплитуда волны спадает с ростом z экспоненциально, поскольку -в этом случае мнимое число).

Т. о., выражение (11) есть представление произвольной волны, заданной в нек-рой плоскости z = const, в виде суперпозиции плоских волн, как бегущих, так и неоднородных.

Плоская волна ехр[i(ux + uy)] в задачах пространств. фильтрации является аналогом гармонич. колебания ехр iwt. Поэтому пару чисел и, u наз. пространственными частотами.

Частотная характеристика свободного пространства. Участок свободного пространства между двумя плоскостями z = 0 и z = const > 0 (рис. 3) является простейшим пространств. фильтром. Согласно (12) и (13), распространение плоской волны между двумя плоскостями приводит лишь к появлению множителя ехр [i ], определяющего набег фазы волны (при |u² + u²|<=k²)или экспо-ненц. уменьшение амплитуды (при |u² + u²|>k²). Это утверждение можно записать в виде операторного равенства:

где Н(и, u) = ехр(i ) - частотная характеристика свободного пространства. Экспоненц. ф-ции ехр[i(ux+uy)] при любых (и, u)являются, согласно (14), собственными ф-циями пространств. фильтра.

Пространственная модуляция. В радиоэлектронике модуляция сигнала записывается как операция перемножения модулируемого колебания f(t) и модулирующего сигнала m(t), в результате к-рой на выходе модулятора имеем модулированный сигнал g(t)=f(t)m(t). Различают два вида модуляции: амплитудную, когда m(t) - действительная положит. ф-ция a(t), и фазовую: m(t) = ехр ij(t). Если несущее (модулируемое) колебание - гармонич. ф-ция f(t) = = ехр iwt, то в первом случае на выходе имеем амплитуд-но-модулированное колебание g(t) = a(t)exp iwt, а во втором- колебание, модулированное по фазе g(t) = = ехр{i[wt+j(t)]}. Операцию модуляции изображают символически с помощью блок-схемы (рис. 4, а).

где f-фокусное расстояние линзы. В оптике пространств. спектральное разложение тесно связано со свойством линзы фокусировать параллельный пучок света: падающая на линзу плоская волна expi(ux+uy)с пространств. частотой (и, u)фокусируется линзой в точку фокальной плоскости с координатами x=fu/k и y=fu/k (рис. 5). Падающая на линзу произвольная волна с комплексной амплитудой f(x,y)может быть представлена, согласно (11), суперпозицией плоских волн разных направлений (т. е. разных пространств. частот и, u), и каждая из плоских волн в этой суперпозиции фокусируется линзой в свою определ. точку фокальной плоскости, создавая в ней световое поле с амплитудой, пропорциональной амплитуде соответствующей волны, и с фазой, определяемой фазой соответствующей волны, т. е. создавая в ней колебание, пропорциональное величине F(kx/f, ky/f), где F(u, u) - преобразование Фурье ф-ции f(х, у). Т. о., световое поле, возникающее в фокальной плоскости линзы, представляет собой пространств. спектральное разложение волны, падающей на линзу.

где G_k(u, u)и F_k(u, u) - пространств. спектры мощности (фурье-образы автокорреляц. ф-ций) спекл-полей во входной и выходной плоскостях оптич. системы.

где J_вх(u, u)и J_вых(u, u) -фурье-образы ф-ций J_вх(x, у)и I_вых(x, y); (u, u)-п е р е д а т о ч н а я ф у н к ц и я оптич. системы, определяющая свойства некогерентной оптич. системы.

Связь между когерентной частотной характеристикой H (и, u)и передаточной ф-цией оптич. системы (и, u)для одномерного случая имеет вид

Лит.: Горелик Г. С., Колебания и волны, 2 изд., М., 1959; Рытов С. М., О методе фазового контраста в микроскопии, "УФН", 1950, т. 41, в. 4, с. 425; О-Нейл Э., Введение в статистическую оптику, пер. с англ., М., 1966; Строук Дж., Введение в когерентную оптику и голографию, пер. с англ., М., 1967; Гудмен Дж., Введение в фурье-оптику, пер. с англ., М., 1970; его же, Статистическая оптика, пер. с англ., М., 1988; Сороко Л. М., Основы голографии и когерентной оптики, М., 1971; Папулис А., Теория систем и преобразований в оптике, пер. с англ., М., 1971; Мандельштам Л. И., Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике, М., 1972; Зверев В. А., Радиооптика, М., 1975; Юу Ф., Введение в теорию дифракции, обработку информации и голографию, пер. с англ., М., 1979. Г. Р. Лакшин.