фурье-преобразование

ФУРЬЕ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ - интегральное преобразование ,действующее в пространстве ф-ций п действительных переменных:

Для суммируемых во всём пространстве Rⁿ ф-ций ФL₁(Rⁿ)интеграл (*) корректно определяет нек-рую ф-цию F[j ] (х) = y(х) - фурье-образ ф-ции j. Обратное отображение F^-1, восстанавливающее ф-цию j(х) по известной F [j](х),- о б р а т н о е п р е о б р а з о в а н и е Ф у р ь е - задаётся ф-лой

Наиб. естественно Ф--п. выглядит для обобщённых функций медленного роста, оно оставляет ф-ции в этом же классе. Аналогичным свойством Ф--п. обладает для квадратично суммируемых ф-ций, для к-рых справедливо равенство Парсеваля:

где <...> - скалярное произведение. Это обстоятельство, в частности, гарантирует эквивалентность координатного и импульсного представлений для волновых ф-ций квантовой механики.

Многочисл. техн. применения Ф--п. основываются на следующих его свойствах: свёртка ф-ций f и g переходит в произведение фурье-образов F[f*g] = F [f]F [g]; Ф. п. производной ф-ции задаётся умножением на независимую переменную, F[D^af] (x) = (ix)^aF [f].

Лит.: Владимиров B.С., Уравнения математической физики, 5 изд., М., 1988; его же, Обобщенные функции в математической физике, 2 изд., М., 1979; Хёрмандер Л., Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, пер. с англ., т. 1, М., 1986. С. В. Молодцов.

   <<      Предметный указатель      >>