целая функция

ЦЕЛАЯ ФУНКЦИЯ - функция, аналитическая во всей плоскости комплексного переменного (кроме, возможно, бесконечно удалённой точки). Она разлагается в степенной ряд

сходящийся во всей плоскости

Если f(r)0 всюду, то f(z) = e^P(z), где P(z) - Ц. ф. Если имеется конечное число точек, в к-рых f(z) обращается в нуль, и эти точки- z₁, z₂, ...,z_k (их наз. нулями функции), то

где P(z)есть Ц. ф. В общем случае, когда f(z) имеет бесконечно много нулей z₁, z₂,..., справедливо представление

где P(z)есть Ц. ф., а l = 0, если f(0)0, и l равно кратности нуля z = 0, если f(0)=0. Пусть

Если при больших r величина М(r)растёт не быстрее r^m, то f(z)-многочлен степени, не большей m. Следовательно, если f(z) не многочлен, то М(r)растёт быстрее любой степени r. При оценке роста М (r)в этом случае в качестве ф-ции сравнения берётся показательная ф-ция.

По определению, f(z) есть Ц.ф. к о н е ч н о г о п о р я д-к а, если имеется конечное m, такое, что

Ниж. грань r множества чисел m, удовлетворяющих этому условию, наз. п о р я д к о м Ц.ф. f(z). Порядок вычисляется по ф-ле

Если f(z) порядка р удовлетворяет условию

то говорят, что f(z) - ф-ция порядка r и к о н е ч н о г о т и п а. Ниж. грань s множества чисел a, удовлетворяющих данному условию, наз. типом Ц. ф. f(z). Он определяется из ф-лы

Ф-ция многих переменных f(z₁, z₂,..., z_n) есть Ц.ф., если она является аналитической при |z_k|<(k=1, 2,..., п). Для неё вводятся понятия порядка и типа (сопряжённых порядков и типов). Простого представления в виде бесконечного произведения здесь получить не удаётся, потому что, в отличие от случая n=1, нули f(z) не являются изолированными.

Лит.: Левин Б. Я., Распределение корней целых функций, М., 1956; Евграфов М. А., Асимптотические оценки и целые функции, 3 изд., М., 1978; Ронкин Л. И., Введение в теорию целых функций многих переменных, М., 1971. А. Ф. Леонтьев.

   <<      Предметный указатель      >>