электродинамика движущихся сред

Четырёхмерные антисимметричные тензоры полей F_ik и индукций H_ik , составленные соответственно из компонент векторов (В, - iE)и (H, - iD)в декартовой системе координат имеют вид:

а четырёхмерные векторы x_k и j_i связаны с декартовыми компонентами векторов r( х, у, z)и плотностью тока j соотношениями

где r - плотность заряда [по повторяющимся индексам в (2), (3) и далее проводится суммирование].

Ковариантная запись ур-ний Максвелла (2) и материальных соотношений в форме (3), предложенной Л. И. Мандельштамом и И. Е. Таммом, позволяет обобщить эти ур-ния на неинерциальные системы отсчёта и неинерциаль-но движущиеся среды методами общей теории относительности. Для равномерно движущейся изотропной среды e_ikst можно представить в виде произведения двух тензоров 2-го ранга h_is:

где d_is - единичный тензор, а четырёхмерная скорость среды u_i связана с вектором скорости и соотношениями

В движущейся среде можно ввести четырёхмерный векторный потенциал A_k = (A, ij) (где А, j - векторный и скалярный потенциалы), связанный с электрич. полем Е и магн. индукцией В обычным соотношением

Подстановка выражений (7) в систему (2) и (3) с использованием тензора (6) приводит к ур-нию для A_k вида

Дифференциальный оператор обобщает оператор волнового ур-ния на движущиеся среды. Четырёхвекторный потенциал A_k удовлетворяет обобщённому условию Лоренца:

В движущейся среде без дисперсии ур-ние (8) имеет решение записанное через тензорную Грина функцию G_kl = S_klG₀/с, где скорость движения среды и =сb направлена по оси z, а векторы r и r' лежат в плоскости, перпендикулярной скорости и. При t'>t ф-ция Грина G₀ в (11) тождественно равна нулю.

Особенности излучения волн в движущейся среде. В качестве иллюстрации смысла полученных ф-л рассмотрим поле точечного источника, расположенного в начале координат (r''=z' = 0) и излучавшего очень малое время (t'=0). Если бы среда покоилась, то поле излучения расходилось бы от источника во все стороны с одинаковой скоростью, равной скорости света в среде, т. е. всё поле излучения было бы сосредоточено вблизи сферич. поверхности, расширяющейся от начала координат во все стороны со скоростью света. Движение среды приводит к тому, что скорость света в разных направлениях становится различной. Поэтому поверхность R₀ = const [см. ф-лу (11)}, на к-рой поле излучения отлично от нуля, уже не является сферой, а имеет вид эллипсоида вращения:

ось симметрии к-рого направлена по скорости движения среды. Полуоси а и b этого эллипсоида линейно растут со временем, а центр эллиптич. оболочки z₀ перемещается в направлении движения среды со скоростью u₀ = h₀u, где h₀ = (em - 1)/(em - b²)-коэф. увлечения света. При малых скоростях, когда b<<1, он совпадает с коэф. увлечения Френеля в опыте Физо, а релятивистски движущаяся среда, когда b1, полностью увлекает свет, т.е. h₀=1. Т.о., оболочка, на к-рой сосредоточено излучение в движущейся среде, одновременно расширяется и "сносится вниз по течению" среды ("увлекается" движущейся средой). Если скорость перемещения среды сравнительно невелика, то источник излучения находится внутри этой оболочки (рис. 1). Если же скорость движения среды превышает фазовую скорость света, то оболочку "сдувает" настолько сильно, что она вся оказывается "ниже по течению", и источник излучения находится вне этой оболочки (рис. 2).

Рис. 1. Распространение волн излучения в движущейся среде в случае, когда скорость движения среды не превышает фазовой скорости света. Источник излучения находится в начале координат. Среда движется вправо со скоростью и.Видно, что волновые поверхности "сносит по течению".

Прохождение заряженной частицы через движущуюся среду. При рассмотрении излучения в движущейся среде предполагалось, что источник излучения покоится по отношению к этой среде. Если источник движется по произвольному закону, то его поле излучения, как и в покоящейся среде, определяется интерференцией волн, испущенных источником в каждой точке своего пути. Отличие от случая покоящейся изотропной среды состоит в том, что из-за эффекта увлечения в движущейся среде скорость волн в разных направлениях различна (рис. 1 и 2).

Рис. 2. Излучение волн в движущейся среде в случае, когда скорость среды превышает фазовую скорость света. Источник излучения находится в начале координат. Расходящиеся от источника волны оказываются по одну сторону от источника.

Особенность излучения движущегося источника в движущейся среде можно понять на примере излучения Вавилова - Черенкова. Пусть в среде, движущейся со скоростью u, перемещается с пост. скоростью u точечная частица с зарядом q. В покоящейся среде эта частица может стать источником излучения, если её скорость превышает фазовую скорость света в среде, т. е. u>c/ Возникающее излучение, называемое излучением Вавилова - Черенкова, уносит энергию от движущейся частицы, и частица замедляется. В движущейся среде источником излучения Вавилова- Черенкова может стать движущаяся с малой скоростью или даже покоящаяся заряж. частица. Если частица покоится, а скорость движения среды превышает фазовую скорость света, возникает характерное волновое поле, представляющее собой в данном случае излучение Вавилова- Черенкова. Это поле целиком находится по одну сторону от покоящегося заряда "вниз по течению" среды (рис. 2). При этом на частицу - источник излучения - действует ускоряющая сила в направлении движения среды. Т. о., в движущейся среде меняется характер взаимодействия заряж. частицы со средой. В зависимости от скорости частицы u и среды u потери dW/dz энергии частицы W на единицу длины пути могут иметь разл. величину и даже менять знак, что соответствует уже не замедлению, а ускорению частицы средой. Последнее явление часто наз. эффектом обращения потерь энергии. Всё это видно из ф-лы для потерь энергии:

где u_отн = cb_отн = (u - u)/(1- uu/c²) - скорость относит. движения частицы и среды, e(w_s) = 0. Знаковая ф-ция sgnx = = х/|х| указывает на изменение знака потерь; при u>u sgn(u - u)=+1 и частица теряет энергию, а при u<u, когда sgn (u - и)= -1, частица ускоряется. Первое слагаемое в фигурных скобках соответствует потерям на излучение Вавилова-Черенкова. Оно отлично от нуля лишь при движении частицы с относит. скоростью u_отн, к-рая больше фазовой скорости света в покоящейся среде В ф-ле (13) K₀(w_sr_мин/|u_отн|) есть ф-ция Макдональда, а r_мин пo порядку величины совпадает с радиусом дебаев-ского экранирования r_D = (kT/mw_p)^1/2 в среде с темп-рой Т и концентрацией электронов N, w_p=(4pNe²/m)^1/2- плазменная частота, т - масса покоя электрона. В движущейся плазме с m=1 и e=l- w²_p/w² или в пучке релятивистских электронов с энергией W_e = mc²g потери энергии на излучение Вавилова-Черенкова равны нулю, а на возбуждение плазменных колебаний отличны от нуля и имеют вид:

где разброс энергии электронов в пучке DW_e = mc²Dg, a q=eN_q- заряд точечного сгустка частиц с концентрацией N_q.

После того как стали получать (с помощью сильноточных и плазменных ускорителей) пучки заряж. частиц большой плотности, движущиеся с релятивистскими скоростями, возрос интерес к Э. д. с. В этих пучках можно ускорять заряж. частицы до больших энергий. Так, из ф-лы (14) следует, что в пучке электронов с плотностью тока порядка 30 кА/см² (N6^.10¹² см^-3) при энергии электронов W_e =2 МэВ (g = 4) и разбросе DW_e = 0,3W_e прирост энергии частиц в сгустке с концентрацией N_q= 10¹⁰ см^-3 составляет 5 МэВ/см на одну ускоряемую частицу из сгустка.

Плотные пучки электронов или движущейся плазмы во мн. отношениях ведут себя как макроскопич. движущиеся среды. В связи с получением таких пучков появились новые возможности не только для применения Э. д. с. в исследовании физ. установок и приборов, но также стало возможным изучение релятивистских эффектов, когда и/с становится порядка единицы.

Лит.: Тамм И. Е., Основы теории электричества, 10 изд., М., 1989; Болотовский Б. М., Столяров С. Н., Современное состояние электродинамики движущихся сред (безграничные среды), в кн.: Эйнштейновский сборник. 1974, М., 1976; их же, Поля источников излучения в движущихся средах, в кн.: Эйнштейновский сборник. 1978-1979, М., 1983. Б. М. Болотовский, С. Н. Столяров.

   <<      Предметный указатель      >>