эргодическая теория

Обладая свойствами, общими для всех групп унитарных операторов, спектр ДС имеет и нек-рую специфику, связанную с тем, что операторы U^t не только линейны, но и мультипликативны: U ^tfg=U ^tfU ^tg. В частности, собств. значения каждого из них образуют подгруппу группы комплексных чисел, равных по модулю единице.

Однако полное описание всех видов спектра, к-рый может встретиться у ДС, до сих пор отсутствует. Неизвестно, напр., может ли спектр быть конечнократным лебеговским.

Свойства ДС, к-рые можно выразить в терминах спектра, наз. спектральными и служат предметом спектрального направления Э.т. Так, эргодичность каскада {Т ^t} равносильна отсутствию у оператора U¹ к--л. собственных ф-ций с собственным значением "единица", кроме постоянных; все другие собственные подпространства этого оператора в эргодич. случае также одномерны и состоят из постоянных по модулю ф-ций. Слабое перемешивание - это отсутствие собств. значений, отличных от единицы: в этом случае говорят, что система имеет непрерывный спектр. Перемешивание также является спектральным свойством. Однако для К-свойства это уже неверно. Все К-системы имеют один и тот же - счётнократный лебегов-ский спектр, но известны ДС с таким же спектром, не являющиеся К-системами. Для систем с дискретным спектром (когда собств. ф-ции образуют базис в L²) ситуация обратная: всякая такая система однозначно (с точностью до изоморфизма) определяется своим спектром (фон Нейман, 1932). Пример системы с дискретным спектром - семейство сдвигов на торе.

В исследованиях (прежде всего численных) конкретных ДС большую роль играет вычисление корреляционных ф-ций K_f(t)и отвечающих им спектральных мер s_f. В то же время полное аналитич. исследование спектра во мн. случаях является трудной задачей.

Энтропийная теория динамических систем

Это направление Э.т. возникло в кон. 50-х - нач. 60-х гг. после того, как А. Н. Колмогоровым было введено понятие энтропии ДС, близкое к теоретико-информац. энтропии К. Э. Шеннона (С. Е. Shannon) (см. Теория информации ).Пусть измеримые множества A₁, ...,A_k образуют разбиение а вероятностного пространства (X, , m). Энтропией этого разбиения наз. число

полагая здесь 0log0 = 0 (основание логарифмов существенной роли не играет, но во многих случаях логарифмы удобно считать натуральными). Очевидно, H(a) не зависит от того, в каком порядке занумерованы множества А_i. Если Т-сохраняющее меру преобразование, то при любом m>0 множества Т^-mА_i , 1<=i<=k, также образуют разбиение (обозначаемое T^-ma). Доказывается, что всегда существует конечный предел

Осн. задачи, решаемые энтропийной теорией,- вычисление (оценка) энтропии для тех или иных классов систем и выяснение взаимоотношений между энтропией и др. характеристиками ДС. Для сдвига в пространстве реализаций последовательности независимых, одинаково распределённых случайных величин x_n (Б-сдвига) энтропия равна H(x₁). В классе Б-каскадов и Б-потоков энтропия играет определяющую роль, являясь полным инвариантом: две такие ДС изоморфны, если они имеют одинаковую энтропию (т е о р е м а О р н с т е й н а; D. Ornstein, 1970). Для класса К-систем (включающего Б-системы в качестве подкласса) это уже не так: существует несчётное семейство попарно неизоморфных К-систем с одинаковой энтропией (правда, все известные К-системы физ. происхождения являются Б-системами). Но и с К-системами энтропия связана самым непосредств. образом, т. к. К-системы и только они имеют вполне п о л о ж и т. э н т р о п и ю: любая нетривиальная факторсистема такой системы имеет положит. энтропию (т е о р е м а Р о х л и н а - С и н а я; В. А. Рохлин, Я. Г. Синай, 1961). Тем самым у К-свойства имеется чисто энтропийный эквивалент.

К-системы входят в класс ДС с положит. энтропией. В нём уже встречаются системы, к-рые не перемешивают, и даже неэргодич. системы. Однако у любой эргодич. системы из этого класса, имеющей энтропию h > 0, найдётся факторсистема с любой наперёд заданной энтропией h₁<=h, к-рая является Б-системой (т е о р е м а С и н а я, 1962).

С точки зрения энтропийной теории противоположными К-системам свойствами обладают системы с нулевой энтропией, для них энтропийная теория гораздо менее содержательна, чем для систем с положит. энтропией. В то же время систем с нулевой энтропией достаточно много (в нек-ром точно формулируемом смысле они составляют подавляющее большинство среди всех ДС). К этому классу относятся все системы с дискретным спектром, но в нём встречаются перемешивающие системы и даже системы с таким же, как у К-систем, счётнократным лебеговским спектром.

Для гладких ДС известна связь между энтропией h и характеристич. показателями c_i (х):

где т_i(х)- кратность показателя c_i(х) и k(x)- число положит. показателей (показатели считаются занумерованными в порядке убывания). Для нек-рых инвариантных мер m здесь достигается равенство, к-рое показывает, что энтропия характеризует степень неустойчивости траектории ДС. Оно служит важным инструментом оценки энтропии при численном исследовании ДС.

Кроме энтропии в Э. т. существует ещё одно понятие, близкое к ней по смыслу, но непосредственно не связанное с инвариантной мерой. Речь идёт о т о п о л о г и ч. э н т р оп и и- числовой характеристике топологич. ДС. Такая система представляет собой группу или полугруппу непрерывных преобразований метрич. пространства X. Задав на X вероятностную меру m, инвариантную относительно рассматриваемого семейства преобразований, получим ДС в смысле Э. т. Эта система имеет энтропию h_m, зависящую, вообще говоря, от m. Если фазовое пространство X компактно, то sup h_m по всем инвариантным мерам совпадает с топологич. энтропией h_top. Отсюда следует, что h_top является инвариантом непрерывного изоморфизма топологич. ДС: если между фазовыми пространствами двух таких систем имеется взаимно однозначное соответствие, при к-ром каждому борелевскому множеству в одном из них отвечает борелевское множество в другом, а преобразования, образующие ДС, переходят друг в друга, то эти системы имеют одинаковую топологич. энтропию. Мера m, для к-рой h_m = h_top, наз. мерой с макс. энтропией. Такова, напр., мера Лебега для автоморфизма тора. Но меры с макс. энтропией может и не быть. Задача об условиях существования и свойствах таких мер служит одним из звеньев, связывающих Э. т. со статистич. физикой. Под влиянием последней в Э. т. в 70-х гг. появилось обобщение топологич. энтропии, называемое топологич. давлением (см. ниже).

Символическая динамика

С и м в о л и ч е с к о й ДС наз. каскад {Sⁿ}, образованный сдвигами в пространстве последовательностей. В простейшем случае фазовым пространством такой системы служит множество всех последовательностей y={у_i, <i<}, элементы к-рых принадлежат нек-ро-му конечному или счётному множеству А ("алфавиту"), а преобразование S = S¹ (сдвиг влево) переводит у в последовательность у' = {у'_i, -<i<}, где y'_i=y_i+1. В общем случае фазовым пространством символич. системы может быть не всё пространство последовательностей , а любое его подмножество Y, инвариантное относительно сдвига. Оно может иметь очень сложную структуру, но особенно важную роль играют относительно простые множества Y, наз. м а р к о в с к и м и. Такое множество состоит из всех последовательностей, не содержащих ни одной пары стоящих рядом символов из заданного набора таких пар (напр., Y может состоять из всех последовательностей нулей и единиц, в к-рых две единицы нигде не стоят рядом). Семейство сдвигов {Sⁿ}, определённое на марковском множестве, наз. с и м в о л и ч е с к о й (чаще т о п о л ог и ч е с к о й) ц е п ь ю М а р к о в а. Как правило, символич. система обладает бесконечным набором инвариантных вероятностных мер, но бывают множества Y (в т. ч. нетривиальные), для к-рых такая мера единственна. Всякая инвариантная вероятностная мера превращает последовательность координат y_i, рассматриваемых как ф-ции от у, в стационарную случайную последовательность со значениями в А.

Символич. системы играют в Э. т. двоякую роль. Во-первых, они используются для проверки тех или иных общих идей, во-вторых, составляют основу метода символич. динамики, позволяющего успешно изучать нек-рые классы ДС путём построения их символич. моделей. Суть этого метода, восходящего к Ж. Адамару (J. S. Hadamard), Биркгофу и М. Морсу (М. С. Morse), состоит в следующем. Пусть {Тⁿ} - каскад с фазовым пространством X и f- ф-ция на X со значениями в конечном или счётном множестве А. Тогда каждой точке хX можно поставить в соответствие последовательность y(x) = {f(Tⁿx), -<п<} элементов множества А. Очевидно, точке Т¹х отвечает последовательность S^ly, где S¹-сдвиг на один символ влево, а множество Y_f всех полученных т.о. последовательностей инвариантно относительно S¹. Возникает символич. ДС, связанная с ф-цией f, точнее, с разбиением a_f пространства X на множества, где f принимает фиксиров. значения (изменение самих этих значений приводит к простой замене символов). Если m - инвариантная мера системы {Тⁿ}, то отображение, переводящее х в у(х), индуцирует на Y_f меру m_f по ф-ле m_f(В} = m({хХ:у (х)В}), к-рая инвариантна относительно {Sⁿ}. Иногда удаётся подобрать f так, что с точностью до множества нулевой меры каждому уY_f отвечает только одно х, т. е. m-почти всякая точка х однозначно определяется тем, какие элементы разбиения a_f она последовательно посещает под действием преобразований Тⁿ. Тогда системы {Тⁿ} и {Sⁿ} oказываются изоморфными, а a_f наз. о б р а з у ю щ и м р а з б и е н и е м или просто о б р а з у ющ е й для {Тⁿ}. Всякий эргодич. каскад обладает счётной образующей, а при условии конечности его энтропии даже конечной.

Гиперболические системы

Понятие гиперболичности служит матем. выражением и конкретизацией свойства локальной неустойчивости траекторий. Обычно предполагается, что фазовым пространством системы служит нек-рое риманово многообразие (см. Риманово пространство X ),а динамика задаётся гладким отображением Т¹ = Т: XX (случай каскада) или гладким векторным полем на X (случай потока). Наличие римановой структуры позволяет измерять длины кривых и объёмы подмножеств, принадлежащих X, а также длины векторов в касательных пространствах к X. Гиперболичность - это свойство отд. траекторий О(х) = {Т ^tх}, формулируемое в терминах касательных отображений (решений ур-ний в вариациях - в случае потока), отвечающих ДС {Т^t}. Его смысл в том, что при каждом t имеется три типа поведения точек, бесконечно близких к точке Т^tх: при своём дальнейшем движении под действием ДС точки первого типа с экспоненциальной скоростью сближаются с траекторией точки х, точки второго типа с экспоненциальной скоростью удаляются от неё, а точки третьего (нейтрального) типа ведут себя промежуточным образом. Этим трём типам поведения отвечает представление касательного пространства к X в точке Т ^tх в виде прямой суммы подпространств, переходящих друг в друга вдоль траектории под действием касательных отображений. В случае каскада точек нейтрального типа может не быть совсем, а в случае потока они всегда есть - из таких точек состоит сама траектория О(х). При изменении направления времени точки первого и второго типа меняются ролями, а точки третьего типа сохраняются.

Важнейшим инструментом исследования ДС гипербо-лич. типа служат устойчивые и неустойчивые многообразия. Устойчивое многообразие W ^s(x)точки х состоит из всех точек у, для к-рых расстояние между Т^tх и Т^tу стремится к нулю при t, а неустойчивое многообразие W^u (х)образовано точками у, к-рые ведут себя точно так же, но при t-. Под действием Т ^t устойчивые многообразия переходят друг в друга: T ^tW ^s(x)=W ^s(T ^tx), то же самое относится к неустойчивым многообразиям.

Наиб. полно свойство гиперболичности проявляется у с и с т е м А н о с о в а, введённых Д. В. Аносовым в нач. 60-х гг. (первоначальное назв.- У-системы). У таких систем в случае дискретного времени отсутствуют точки нейтрального типа, а в случае непрерывного времени множество точек нейтрального типа для х исчерпывается траекторией О(х). Кроме того, для систем Аносова константы, характеризующие экспоненциальное сближение траекторий, можно выбрать едиными для всех точек фазового пространства.

Простейший пример системы Аносова - автоморфизм двумерного тора, отвечающий матрице . Собств. числа этой матрицы равны соответственно l₁ = (3-)/2< 1 и l₂ = 1/l₁ а собств. направления определяются взаимно перпендикулярными векторами е₁=(2, -1) и е₂=(2, --1). Устойчивое и неустойчивое многообразия произвольной точки х - это траектории обмотки, проходящие через х в направлении соответственно е₁ и е₂ (рис. 4). Каждая из этих кривых всюду плотна на торе, что типично для систем Аносова, а их взаимная перпендикулярность-случайное обстоятельство, связанное с симметричностью матрицы А. В случае матрицы А произвольного порядка п (с целочисленными элементами и определителем +1) соответствующий автоморфизм n-мерного тора является системой Аносова в том и только том случае, когда у неё нет собственных чисел, лежащих на единичной окружности.

Рис. 4. Векторы, пропорциональные е₁ и е₂, и отрезки проходящих черезних траекторий обмотки.

Самый известный пример системы Аносова с непрерывным временем - геодезич. поток на компактной поверхности М постоянной отрицат. кривизны. Фазовое пространство этой ДС образовано всеми касательными к М векторами длины 1, каждый из к-рых движется с единичной скоростью вдоль определяемой им геодезической линии. К геодезич. потоку приводится гамильтонова система с гамильтонианом Н= Т+ V, если Т квадратично зависит от импульсов, а V зависит только от координат. Соответствующая риманова метрика определяется гамильтонианом, но отрицательная кривизна появляется лишь при Н спец. вида.

Системы Аносова демонстрируют простейший, идеальный тип гиперболич. поведения и редко встречаются в приложениях. Гораздо чаще условия гиперболичности выполняются лишь для траекторий, заполняющих нек-рое инвариантное множество, не совпадающее со всем фазовым пространством. При этом, в зависимости от того, существуют ли точки нейтрального типа и равномерна ли экспоненциальная скорость сближения траекторий в определении гиперболичности, различают полную и частичную, а также равномерную и неравномерную гиперболичности (здесь возможны любые комбинации). Полная и частичная гиперболичности выражаются в терминах характеристич. показателей: грубо говоря, первое свойство - это отсутствие нулевых, а второе - наличие ненулевых показателей.

Как правило, гиперболич. множество имеет нулевой ри-манов объём и вследствие этого нигде не плотно, т. е. не содержит ни одного шара (в двумерном случае - круга). Тривиальный пример такого множества - гиперболич. неподвижная точка х (седло) нек-рого гладкого преобразования плоскости. В её окрестности, однако, может существовать гиперболич. множество гораздо более сложной структуры (оно замкнуто, нигде не плотно и не содержит изолиров. точек, т. е. напоминает канторово совершенное множество). Это бывает в тех случаях, когда проходящие через точку х сепаратрисы (к-рые служат для неё устойчивым и неустойчивым многообразиями) пересекаются под ненулевым углом (трансверсально) в нек-рой точке ух (называемой трансверсальной гомоклинич. точкой).

Если гиперболич. множество Г одновременно является аттрактором, т. е. притягивает при t все траектории из нек-рой своей окрестности, то оно должно содержать неустойчивое многообразие каждой своей точки. Т. о., в двумерном случае гиперболич. аттрактор локально представляет собой семейство более или менее параллельных друг другу кривых, проведённых через каждую точку нек-рого множества канторовского типа, лежащего на прямой, перпендикулярной направлению кривых. Аттракторы такого типа получили наименование странных аттракторов. Аналогичную структуру имеют гиперболич. аттракторы в многомерном случае. Один из наиб. известных примеров гиперболич. аттрактора - аттрактор Лоренца (см. Лоренца система).

Естеств. кандидат на роль инвариантной меры гиперболич. системы - это риманов объём (соответствующим образом нормированный). Однако он инвариантен лишь в нек-рых, весьма спец. ситуациях (напр., для автоморфизмов тора). Если же риманов объём р не инвариантен, а ДС представляет собой каскад Аносова, то она диссипативна относительно r: существует множество, образы к-рого под действием Т^t при разных t попарно не пересекаются и покрывают всё фазовое пространство. Тем не менее из r можно получить инвариантную меру. Для этого нужно, начав с любой абсолютно непрерывной вероятностной меры m (т.е. меры задаваемой плотностью относительно r), ввести последовательность мер m_n, где

В случае системы Аносова, обладающей хотя бы одной всюду плотной траекторией (это свойство наз. топологической транзитивностью), последовательность m_n слабо сходится при п+ и п- к инвариантным мерам m⁺ и m^- соответственно (слабая сходимость m_nv означает, что для любой ограниченной непрерывной ф-ции f). Меры m⁺ и m^- не зависят от m и, как правило, различны.

В более общем случае, когда система обладает гиперболич. аттрактором Г, а m - вероятностная мера, сосредоточенная в его окрестности и имеющая плотность относительно r, последовательность m_n при п слабо сходится к инвариантной мере, сосредоточенной на Г. При нек-рых более общих условиях к инвариантной мере сходятся лишь средние арифметические

Роль устойчивых и неустойчивых многообразий в изучении эргодич. свойств гиперболич. систем иллюстрирует следующее рассуждение Э. Хопфа (Е. Hopf). Если две точки лежат на одном устойчивом многообразии, то при t->оо они сближаются, а потому для любой непрерывной ф-ции f её временное среднее f^* принимает одинаковые значения в тех точках этого многообразия, где ф-ция f^* определена. То же самое верно при t для точек любого неустойчивого многообразия, а т. к. по теореме Биркгофа f^* существует на множестве полной меры, найдётся такая ф-ция постоянная на каждом W ^s(x} и на каждом W^u(x), что всюду, кроме, быть может, множества нулевой меры. Очевидно, = const, если выполняется следующее условие связности: для любых точек х, х' можно подобрать цепочку точек у₀, y₁, ...,у_n, в к-рой у₀=х, у_n = х', и при любом k<n точки y_k и y_k+1 принадлежат либо одному устойчивому, либо одному неустойчивому многообразию. Пользуясь тем, что всякая интегрируемая ф-ция приближается непрерывными ф-циями, можно распространить утверждение о постоянстве (почти всюду) средних f^* на все интегрируемые ф-ции f и тем самым доказать эргодичность.

В целом гиперболич. системы можно считать, хотя и с нек-рыми оговорками, в высокой степени стохастич-ными. Так, известно, что если каскад {Т ^t} обладает гиперболич. множеством Г с достаточно естеств. свойствами, то для широкого класса инвариантных мер, сосредоточенных на Г, он эргодичен, но может иметь в спектре дискретную компоненту, препятствующую перемешиванию. В последнем случае Г можно разбить на части Г₀, Г₁ ,..., Г_k-1, циклически переставляемые отображением Т¹, причём подкаскад {T ^kt} является Б-системой на множестве Г₀, к-рое, очевидно, {T ^kt}-инвариантно. Кроме того, для большинства случайных последовательностей f_t, порождённых достаточно гладкими ф-циями f по ф-ле f_t(x)=f(T ^tx), выполняется центральная предельная теорема. Всё сказанное касается, в частности, систем Аносова: если к тому же для такой системы риманов объём инвариантен, то дискретная компонента в её спектре отсутствует и она является Б-системой.

Методы, развитые в теории гиперболич. систем, нашли приложение в теории систем биллиардного типа и в теории одномерных отображений.

Динамические системы биллиардного типа

ДС (поток), описывающая точечную частицу, к-рая движется по инерции внутри нек-рой области Q , отражаясь от её границы дQ по закону "угол падения равен углу отражения", наз. б и л л и а р д н о й с и с т е м о й или м а т е м а т и ч. б и л л и а р д о м. Т. к. длина вектора скорости при таком движении не зависит от времени, в качестве фазового пространства X берётся совокупность всех векторов постоянной (напр., единичной) длины, приложенных в точках множества . Если Q - область n-мерного пространства Rⁿ, то X можно отождествить с множеством пар (q, u), где , а u - точка n-1-мерной сферы Sⁿ-1 , т. е. . Инвариантная мера имеет вид dqdu, где dq-элемент n-мерного объёма, a du-элемент п- 1-мерного объёма на Sⁿ-1.

С биллиардами связаны нек-рые задачи классич. и квантовой механики. Так, движение по отрезку прямой п материальных точек, упруго сталкивающихся друг с другом и с концами отрезка, сводится к биллиарду в n-мерном многограннике (при п=2- в треугольнике). Аналогичная система из п упругих шаров в прямоугольном ящике сводится к биллиарду в более сложной области, граница к-рой состоит из кусков цилиндрич. гиперповерхностей. В этих примерах постоянство длины движущегося вектора служит выражением закона сохранения энергии. Рассмотрение биллиарда в области с гладкой границей позволяет получить содержательную информацию о спектре Дирихле задачи в такой области.

В зависимости от вида границы дQ выделяют неск. классов биллиардов с существенно разл. эргодич. свойствами, к-рые к настоящему времени (1997) изучены далеко не полностью.

Кое-что известно о биллиардах в многоугольниках и многогранниках, в частности то, что энтропия такого биллиарда равна нулю и что биллиард в большинстве прямоугольных треугольников эргодичен. Рассмотрим биллиард в n-угольнике с углами a_i, к-рые соизмеримы с p (т. е. a_i = l_ip/m_i, где l_i m_i-целые числа). Всякой траектории биллиарда отвечает её проекция на Q - ломаная линия L со звеньями, концы к-рых лежат на сторонах многоугольника. Вследствие соизмеримости всех a_i с p угол между любым звеном ломаной L и горизонталью может принимать лишь значения вида j + (m/l)p, где l-наименьшее общее кратное чисел l₁, ..., l_n, целое число т зависит от рассматриваемого звена, а j - постоянно вдоль траектории и удовлетворяет условию 0<=j<p/l. Очевидно, j - инвариантная ф-ция, не являющаяся константой, а потому биллиард не эргодичен (тем не менее для каждой его траектории, кроме нек-рого множества нулевой меры, соответствующая ломаная L всюду плотна в Q).

Ещё "менее эргодичен" биллиард в выпуклой области с достаточно гладкой границей (простейшие примеры - круг и эллипс). У такого биллиарда всегда существуют каустики - гладкие кривые g, лежащие в Q и обладающие по отношению к любой из траекторий (точнее, к любой из их проекций) L тем свойством, что либо L и g не имеют общих точек, либо каждое звено ломаной L касается g. Для биллиарда в круге каустики - концентрич. окружность (рис. 5), для биллиарда в эллипсе-софокусные эллипсы и гиперболы.

Рис. 5. Окружность - каустика биллиардной траектории в круге.

Наиб. содержательна Э. т. рассеивающих биллиардов (биллиардов Синая). У такого биллиарда граница состоит из конечного числа гладких кривых или многообразий большей размерности, строго выпуклых внутрь области Q (рис. 6). Эта граница, взятая в качестве зеркала, рассеивает (делает расходящимся) узкий параллельный пучок света, падающий на неё из Q. Рассеивающие биллиарды относятся к классу гиперболич. ДС с особенностями: преобразования, из к-рых состоит система, теряют свойство гладкости (и даже непрерывности) в нек-рых точках фазового пространства (при отражении от границы направление вектора скорости меняется скачком). Теория таких биллиардов во многом аналогична теории гладких гиперболич. систем, хотя и сложнее в техн.отношении. Она приводит к выводу, что рассеивающий биллиард является К- и даже Б-системой. Следовательно, он обладает всеми стохастич. свойствами, характерными для таких систем. К-свойство обнаружено и у биллиардов в нек-рых областях, граница к-рых имеет как рассеивающие, так и фокусирующие и даже только одни фокусирующие участки. Примеры таких областей представлены на рис. 7. Среди них есть и выпуклые, но общей чертой всех границ является малая гладкость (по крайней мере, отсутствие второй производной).

Рис. 6. Рассеивающий биллиард: параллельный пучок после отражения становится расходящимся.

Рис. 7. Примеры областей, в которых биллиард обладает К-свойством, хотя и не является рассеивающим.

Наряду с рассеивающими рассматриваются полурассеивающие биллиарды. У них граница дQ имеет размерность >=2 и состоит из гладких кусков D_i , выпуклых, но не обязательно строго выпуклых внутрь Q: если пересечь D_i к--н. плоскостью П, проходящей через точку хD_i , то для одних П получится выпуклая кривая, а для других- отрезок прямой (пример такого D_i - боковая поверхность кругового цилиндра). Интерес к полурассеивающим биллиардам в значит. мере объясняется тем, что к ним сводится задача об эргодич. свойствах системы h упругих шаров в прямоугольном ящике, к-рая решена лишь при n<=4.

Обнаружение стохастичности у биллиардных и подобных им систем опровергло существовавшее долгое время убеждение, что у ДС механич. происхождения такие свойства могут наблюдаться лишь при большом числе степеней свободы.

Одномерные динамические системы

В течение 70-х и 80-х гг. сформировался раздел Э. т., посвящённый изучению ДС с одномерным фазовым пространством, т. е. преобразований отрезка или окружности. Такие преобразования иногда возникают при рассмотрении ДС с более сложным фазовым пространством, но их значение в большей степени определяется др. факторами: красотой и глубиной самой теории одномерных отображений, её связями с такими областями математики, как теория чисел и комплексный анализ, и присутствием в ней ряда важных элементов, имеющих многомерный аналог. В то же время эта теория обладает спецификой, связанной в первую очередь с естественной упорядоченностью фазового пространства (наличием отношения "больше - меньше" между его точками), что часто позволяет при изучении одномерных отображений продвинуться гораздо дальше, чем в общем случае.

Простейший класс одномерных отображений, представляющий интерес для Э. т., состоит из кусочно-растягивающих отображений нек-рого отрезка [а, b]. Каждое такое отображение задаётся кусочно-монотонной ф-цией, производная к-рой по абс. величине больше единицы всюду, где она определена. Более точно, это означает следующее. На [а, b] можно найти такие точки x₁<х₂<...<х_n, что при всех х, отличных от х₀ = а, х₁ ,..., х_n, х_п+1=b, существует производная f'(х), причём | f'(x)|>l, где l>1 (в точках x_i ф-ция f не обязана даже быть непрерывной). Пример такого отображения отрезка [0, 1] можно задать ф-лой Tx = Fr(2x), где Fr, как и раньше, обозначает дробную часть числа. Здесь n=1, x₁ = l/2 и отображение разрывно в точке 1/2. Это отображение имеет непосредственное отношение к разложению числа в двоичную дробь: если x = b₁(x), b₂(х), ... - такое разложение, то b_n(Тх) = b_п+1(х) п=1, 2, ... . Близкий пример, в к-ром отображение уже всюду непрерывно, получится, если положить Тх= 1 - |2х- 1|, 0<=х<=1. Это т.н. шатровое отображение (tent map) - термин, указывающий на форму его графика.

Иногда рассматривают кусочно-монотонные отображения более общего вида, когда число отрезков монотонности бесконечно, а производная может в отд. точках принимать значения 1 и - 1. Самый известный пример этого рода-преобразование Гаусса, определяемое на отрезке [0, 1] ф-лой Tx = Fr(f(x)), где f(х)= 1/х при х0 и f(0) = 0. Тем самым Тх=1/х-п при 1/(п+1)<х<=1/п, все точки вида 1/п, п>1 являются точками разрыва и, кроме того, f '(1) = - 1. Если преобразование из первого примера было связано с разложением в двоичную дробь, то для преобразования Гаусса ту же роль играет разложение в непрерывную (или цепную) дробь: пусть x = g₁(x), g₂(x) ... - такое разложение для х(0, 1); тогда, как и в первом примере, g_n(Tx)=g_n+1(х), п = 1, 2, .... Преобразование Гаусса существенно отличается по форме от первых двух примеров. Однако порождённые ими ДС имеют сходные эргодич. свойства по отношению к естественным инвариантным мерам. В первом и втором примерах такой мерой является обычная длина (мера Лебега), а в третьем - вероятностная мера m, к-рую можно задать нек-рой плотностью (т. е. m(dx)=p(x)dx). Инвариантность меры относительно преобразования Гаусса приводит к равенству p(х) = ((1+x) ln 2)^-1.

Абсолютно непрерывная инвариантная мера существует для весьма широкого класса кусочно-растягивающих отображений, хотя в общем случае невозможно указать явный вид её плотности. К упомянутому классу принадлежат, в частности, растягивающие отображения окружности. Отождествив окружность единичной длины с полуинтервалом [0, 1), можно задать такое отображение уже встречавшейся ф-лой Tx=Fr(f(x)), 0<=х<=1, где f-достаточно гладкая ф-ция, определённая на отрезке [0, 1 ] и удовлетворяющая условиям: f(0) = 0, f(1) - целое число и f '(х)>=l>1 (первый из приведённых выше примеров именно таков). При этих условиях существует абсолютно непрерывная T-инвариантная мера m с положительной плотностью; по отношению к этой мере Т является точным эндоморфизмом (см. выше), т. е. порождает полукаскад с сильными свойствами стохастичности; энтропия этой ДС равна

Большой интерес представляет изучение одномерных отображений, к-рые на одних участках являются растягивающими, а на других-сжимающими. Их свойства существенно зависят от того, как эти участки расположены вдоль траекторий отдельных точек. Примером может служить отображение Tx= 4x(1 - х), 0<=x<=1, впервые рассмотренное Дж. фон Нейманом и С. Уггамом (S. Ulam) в сер. 40-х гг. Под действием этого отображения критич. точка х=1/2 [в ней производная ф-ции 4х(1- х)равна нулю и, значит, в её окрестности происходит самое сильное сжатие] уже на первом шаге поглощается периодич. траекторией (состоящей из точек 1 и 0), в окрестности к-рой сжатие компенсируется постоянно действующим растяжением. Вследствие этого Т ведёт себя так же, как растягивающие отображения: существует абсолютно непрерывная T-инвариантная мера (с плотностью р(х) =p^-1(x(1 - х))^-1/2), относительно к-рой рассматриваемая ДС в высшей степени стохастична (изоморфна сдвигу Бернулли). Похожая картина наблюдается и в гораздо более общей ситуации. Если, в частности, рассмотреть однопараметрич. семейство отображений T_l = Fr(lf(x)), l>0, где ф-ция f в нек-ром смысле близка к квадратичной ф-ции х(1- х), то для тех l, при к-рых действует аналогичный только что описанному компенсационный механизм, преобразование T стохастично. Оказывается, что множество таких l имеет положительную меру.

В 80-90-е гг. в теории одномерных отображений получили распространение методы, связанные с понятием ре-норм группы и с теорией КАМ (Колмогорова - Арнольда-Мозера). В целом одномерная динамика пока далека от завершения. Последнее в ещё большей степени относится к теории многомерных не всюду растягивающих отображений, к-рая делает только первые шаги.

Случайные динамические системы

Необходимость изучения случайных ДС, т. е. систем, зависящих от случайного параметра, обусловлена теми же причинами, что и применение вероятностных моделей вообще. Важную роль играет, в частности, то обстоятельство, что при численном моделировании приходится производить дискретизацию системы как по времени, так и по пространству, а также учитывать возможность случайных ошибок. В Э. т. имеется конструкция, позволяющая ценой расширения фазового пространства сводить нек-рые случайные ДС к неслучайным. Пусть, напр., задана стационарная случайная последовательность с действительными значениями {у_n, n= 0, 1, ...} и при каждом п определено сохраняющее меру m преобразование Т_yп пространства X, зависящее от случайной величины у_n как от параметра. Последовательность случайных преобразований Т^(п)=Т_yпТ_yn-1... Т_у1Т_y0 естественно называть с л у ч а й н о й ДС. Для неё выполняется с л у ч а й н а я (по другой терминологии- вероятностная) э р г о д и ч. т е о р е м а: если f- интегрируемая ф-ция на X, то событие, состоящее в том, что при m-почти всех хX существует предел

и что ф-ция f^* интегрируема по мере m, имеет вероятность 1. Это утверждение сводится к индивидуальной эргодич. теореме для неслучайной ДС {} в пространстве пар (у, х), где хX; у-бесконечная последовательность дей-ствит. чисел, а преобразование имеет "треугольный" вид: (у, х) = (j(у), y(y, x))где j-сдвиг в пространстве последовательностей. Преобразования такого вида, наз. косыми произведениями, встречаются в разл. областях Э. т.

Другой подход к определению случайной ДС основан на том, что преобразование Т_у пространства X, зависящее от случайного параметра у, порождает на X марковский случайный процесс x_t с дискретным временем (цепь Маркова), у к-рого вероятность перехода за один шаг из точки хX в множество АX равна вероятности того, что Т_ухА. Этот марковский процесс и наз. случайной ДС. Если случайный параметр у в том или ином смысле близок к фикси-ров. значению у⁰, то процесс x_t наз. малым случайным возмущением неслучайной ДС {Т ^t} = {Т ^t_у0}. Это определение переносится на системы с непрерывным временем, для них процесс x_t часто описывается дифференц. ур-ниями со случайным коэф. или дифференц. стохастическими уравнениями. Несколько иной тип малого случайного возмущения ДС - это марковский процесс, в к-ром случайная точка, выйдя из х, распределяется через единицу времени вблизи точки Т ¹ х. Центральная проблема теории малых случайных возмущений касается поведения инвариантной меры m_e соответствующего марковского процесса при стремлении к нулю величины возмущения, характеризуемой параметром e. Первоначально эта проблема изучалась для ДС с притягивающими неподвижными точками (положениями равновесия) или предельными циклами. В 70-х гг. началось исследование систем с гиперболич. аттракторами. Если при e_n0 последовательность мер m_en сходится, то предельная мера, как правило, оказывается инвариантной мерой невозмущённой ДС. На гиперболич. аттракторе сосредоточено несчётное множество инвариантных мер, однако при нек-рых общих условиях m_e сходится лишь к одной из них, а именно к равновесному состоянию, отвечающему коэффициенту растяжения объёма на неустойчивом многообразии (см. ниже).

Э. т. и классическая статистическая физика

Э. т., обязанная своим возникновением статистической физике, долгое время развивалась самостоятельно и лишь в 1970-х гг. вновь испытала влияние идей статистич. физики. Причины этого - появление новых методов в самой Э. т., с одной стороны, и дальнейшая математизация статистич. физики-с другой.

Переосмысление понятия термодинамич. предельного перехода привело к общему определению гиббсовского случайного поля, иначе-гиббсовской меры, или Гиббса распределения ,на фазовом пространстве бесконечной системы взаимодействующих частиц. Эта мера определяется своим гамильтонианом. В случае системы частиц с координатами q_iR^d, импульсами р_jR^d, гамильтониан к-рой имеет вид

где U-потенциал попарного взаимодействия, она инвариантна относительно бесконечночастичной гамильтоно-вой ДС {Т ^t_U}, отвечающей H_U. В то же время никакая гиббсовская мера с гамильтонианом общего вида, отличным от H_U , не является {T ^t_U}-инвариантной [единственное нетривиальное исключение относится к потенциалу U(r) = a/sh²(br); а, b=const]. Этот факт согласуется с принципом необратимости и сходимости к равновесию, строгое обоснование к-рого, вообще говоря, возможно только для систем с бесконечным числом степеней свободы и в общем случае отсутствует.

Поток {Т ^t_U} с инвариантной гиббсовской мерой наз. ДС статистич. механики. Её эргодич. свойства известны лишь для самых простых взаимодействий. Так, если U =0 (случай идеального газа неразличимых частиц), то {T ^t_U} является Б-системой. Более содержательна др. бесконечномерная модель - газ Лоренца (Н. Lorentz), отличающаяся от модели идеального газа тем, что точечные частицы движутся не во всём пространстве R^d, а вне области, занимаемой бесконечным множеством d-мерных шаров (рассеива-телей), отражаясь от границы каждого шара по закону: "угол падения равен углу отражения". Упрощённый вариант этой модели, где имеется лишь одна движущаяся частица, а рассеиватели расположены периодически, сводится к рассеивающему биллиарду на d-мерном торе, из к-рого выброшено конечное число шаров. При d=2 для соответствующего потока {Т ^t} и ф-ции q(x), задающей координату q точки x=(q, p)фазового пространства, доказано, что случайный процесс , рассматриваемый на любом конечном интервале времени 0<=t<=t₀, сходится при s-> со к броуновскому движению и что существует положит. коэф. диффузии, выражаемый через корреляционную функцию скорости движущейся частицы. Это первый пример, в к-ром броуновское движение строго выводится из чисто детерминиров. динамики.

Для случая, когда в той же ситуации движется бесконечное множество частиц, доказано, что соответствующий поток является К-системой. Природа стохастичности этой системы иная, чем у идеального газа. В самом деле, в отличие от модели Лоренца, в движении отд. частицы идеального газа нет никакой стохастичности и, т. к. частицы друг с другом не взаимодействуют, стохастичность всей системы выглядит парадоксально, по крайней мере, она не согласуется с общепринятым представлением, что в основе этого свойства должна лежать нетривиальность взаимодействия. В случае же идеального газа причиной стохастичности служат бесконечность числа частиц и их неразличимость- при отказе от любого из этих условий стохастичность исчезает (впрочем, неразличимость частиц, вследствие к-рой координата и скорость отд. частицы не являются ф-циями на фазовом пространстве, можно считать суррогатом взаимодействия).

Другая идея статистич. физики, оказавшая влияние на Э.т.,- это вариационный принцип Гиббса, согласно к-ро-му гиббсовская мера характеризуется макс. значением энтропии при фиксиров. средней энергии. Для одномерной решёточной спиновой модели его точная формулировка такова. Пусть X-пространство последовательностей x = {x_i , -<i<}, x_i=b1, и S-определённое на нём преобразование сдвига, т.е. (X, S) - символич. ДС, для к-рой инвариантная мера пока не выбрана. На множестве всех S-инвариантных вероятностных мер m вводится функционал

Приём, близкий к термодинамич. предельному переходу, используется при изучении фрактальной структуры (см. Фракталы)инвариантных множеств ДС и в нек-рых др. задачах. Весь этот круг идей получил название т е р м о д ин а м и ч е с к о г о ф о р м а л и з м а.

Некоммутативная Э. т.

Большая часть материала предыдущих разделов может быть изложена без обращения к фазовому пространству ДС, а с использованием вместо него тех или иных пространств ф-ций, заданных на X, напр. пространства ограниченных измеримых комплекснозначных ф-ций. Это пространство допускает наряду с линейными операциями также операцию перемножения любых двух его элементов и операцию комплексного сопряжения. Тем самым оно является С^*-алгеброй, к-рая коммутативна, т.к. этим свойством обладает операция умножения. Всякая мера m, заданная на X, определяет на этой алгебре положит. линейный функционал (состояние) r_m, к-рый ставит в соответствие ф-ции f число задаёт группу {U ^t} её автоморфизмов по ф-ле (U ^tf)(x)=f(U^tx). Если m-инвариантная мера, то, очевидно, функционал r_m инвариантен относительно этой группы: r_m(U ^t f) = r_m(f).

Описанный алгебраич. подход применим и в некоммутативном случае. Ему соответствует определение ДС как однопараметрич. группы автоморфизмов {t ^t} нек-рой С^*-алгебры , на к-рой задано состояние r, инвариантное относительно этой группы. Подобные объекты появляются в квантовой статистич. механике, в частности при определении равновесных состояний (КМШ-состояний), и в квантовой теории поля. Их изучение составляет предмет некоммутативной Э.т., основы к-рой были заложены Дж. фон Нейманом и И. Сигалом (I. Segal).

На некоммутативные ДС обобщаются многие понятия и факты Э. т., в т. ч. статистич. и индивидуальная эргодич. теоремы, имеющие дело со сходимостью средних

(случай дискретного времени), а также теорема о разложении на эргодич. компоненты и понятие перемешивания. Однако непосредств. обобщение возможно далеко не всегда. Так, в формулировке индивидуальной эргодич. теоремы фигурирует сходимость почти всюду - свойство, непосредственно связанное с фазовым пространством. Перенести это понятие на некоммутативный случай позволяет тот факт, что сходимость почти всюду равносильна равномерной сходимости вне множества произвольно малой меры (т е о р е м а Е г о р о в а). Намного сложнее, чем в коммутативном случае, определяется энтропия некоммутативной ДС. Имеются также некоммутативные аналоги К-систем. В целом некоммутативная Э. т. имеет гораздо менее завершённый вид, чем её коммутативный прототип.

Лит.: Халмош П., Лекции по эргодической теории, пер. с англ., М., 1959; Биллингслей П., Эргодическая теория и информация, пер. с англ., М., 1969; Алексеев В. М., Символическая динамика, в кн.: 11-я математическая школа. АН УССР, К., 1976; Орнстейн Д., Эргодическая теория, случайность и динамические системы, пер. с англ., М., 1978; Боуэн Р., Методы символической динамики, пер. с англ., М., 1979; Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В., Эргодическая теория, М., 1980; Брат-тел и У., Робинсон Д., Операторные алгебры и квантовая статистическая механика, пер. с англ., М., 1982; Peterson К., Ergodic theory, Cambridge, 1983; Заславский Г. М., Стохастичность динамических систем, М., 1984; Итоги науки и техники, сер. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, т. 2, М., 1985; Темпельман А. А., Эргодические теоремы на группах, Вильнюс, 1986; Мартин Н., Ингленд Дж., Математическая теория энтропии, пер. с англ., М., 1988; Гальперин Г. А., Земляков А. Н., Математические бильярды, М., 1990; Синай

Я. Г., Современные проблемы эргодической теории, М., 1995; KatokA., Hasselblatt B., Introduction to the theory of dynamical systems, Cambridge, 1995. Б. М. Гуревич.

   <<      Предметный указатель      >>