юнга схемы

ЮНГА СХЕМЫ (диаграммы Юнга) - графич. способ описания неприводимых представлений симметрической труппы S(N), перестановок группы N объектов:

Предложен А. Юнгом (А. \bung) в 1900.

Т. к. всякую перестановку а можно представить в виде произведения s=s_N...s₁ N циклических перестановок s_i (циклов), среди к-рых могут быть и тривиальные, то имеем разбиение

где l_i- длина цикла s_i, т. е. число затронутых им объектов. При этом считается, что l_N>=l_N-1>=...>=l₁. Все подобные друг другу перестановки вида s₀ss₀^-1, образующие класс сопряжённых элементов группы S(N), имеют одинаковую структуру циклов. С др. стороны, число классов сопряжённых элементов совпадает с числом неэквивалентных неприводимых представлений конечной группы (теорема Бернсайда), поэтому каждое неприводимое представление D^[l] группы S(N)задаётся разбиением (1) числа N на целые числа l_i, т. е. набором чисел [l] = {l_N, ..., l₁}. Ю. с. и задаёт такой набор, представляя собой N клеток, объединённых в последовательность строк из l_N, l_N-1, ..., l₁ клеток, т. е. каждая строка в Ю. с. отвечает нек-рому циклу. Напр., для N=7 Ю. с. отвечает набору [l] = {4, 2, 1}.

В квантовой механике Ю. с. используются при построении N-частичных волновых ф-ций y для системы N тождественных частиц. Если выделить N разл. одноча-стичных состояний, то k-тая частица описывается волновой - ф-цией y^(k)_ik, где i_k = 1, 2,..., N-номер состояния. В приближении независимых частиц. и суммирование в (2) проводится по всем перестановкам а возможных состояний i₁, ...,i_N. При этом коэффициенты С_i1...iN обладают определ. свойствами симметрии, в зависимости от выбора представления D^[l], отвечающего состоянию y. Обычно принимаемое соглашение соответствует разбиению индексов i₁..., i_N на группы из l_N, l_N-1,..., l₁ индексов, когда считается, что при перестановках индексов внутри каждой группы тензор симметричен, а при перестановках между группами - антисимметричен.

Для определения размерности n_[l] представления D^[l], т. е. числа независимых компонент тензора , используется цепь вложений

Т.к. переход от S(N) к S(N-1) отвечает отбрасыванию одной клетки в Ю. с., то размерность n_[l] совпадает с числом вариантов отбрасывания клеток, приводящих к единств. клетке. Для перечисления этих вариантов удобно вписывать в клетки Ю.с. числа 1, 2, ...,N, причём первой отбрасывается клетка с большим номером. Полученная т. о. таблица Юнга, или стандартная диаграмма Юнга, отвечает одной из компонент тензора , к-рую обычно обозначают с помощью символа Яманучи r={r₁, r₂, ... ,r_N}, где r_k-номер строки таблицы Юнга, в к-рой стоит число k. Поскольку k-тая клетка Ю. с. может быть отброшена только после того, как отброшены клетки, стоящие под ней и справа от неё, то удобно ввести угл. расстояние h_k, равное числу всех таких клеток, включая её саму. Тогда размерность п_[l] неприводимого представления D^[l], равная числу разл. символов Яманучи, определяется ф-лой "крюков" Робинсона:

а соответствующая Ю.с., в клетки к-рой вписаны угл. расстояния, наз. у г л о в ы м г р а ф о м Р о б и н с о н а.

Если в системе N частиц выделить подсистемы из N₁ и N₂ частиц соответственно, где N=N₁ + N₂, то такие состояния описываются произведениями волновых ф-ций y(N₁)y(N₂), преобразующимися по прямому произведению соответствующих представлений

где (l'l''l) - кратность представления D^[l]. Для нахождения правой части ряда Клебша-Гордана (3) применяется правило Литлвуда перемножения Ю.с. Согласно этому правилу, в строки Ю.с. [l'] вписываются символы а₁, а₂, ...; b₁, b₂, ...; с₁ с₂,...; ...- каждая группа (а), (b), (с),... в свою строку. Затем клетки схемы [l'] в указанной последовательности поочерёдно присоединяются к клеткам схемы [l''] с соблюдением условий:

1) клетки одной группы [скажем, (а)] должны стоять в разных столбцах, причём a_k+1 не выше a_k;

2) клетки b-группы должны стоять ниже клеток а-груп-пы, клетки с-группы - ниже клеток b-группы и т. д. Напр., произведению Ю. с. отвечает ряд Клебша-Гордана,

Лит.: Хамермеш М., Теория групп и ее применение к физическим проблемам, пер. с англ., М., 1966; Джадд Б., Вайборн Б., Теория сложных атомных спектров, пер. с англ., М., 1973.

Ю. П. Рыбаков.

   <<      Предметный указатель      >>